无穷小比较
- \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\) , \(\beta\) 比 \(\alpha\) 高阶无穷小。
- \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\) ,\(\beta\) 比 \(\alpha\) 低阶无穷小。
- \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\) ,\(\beta\) 比 \(\alpha\) 同阶无穷小。
- \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1\) ,\(\beta\) 比 \(\alpha\) 等价无穷小。
- \(\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0 , k>0\) ,\(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。
定理
\(\beta , \alpha\) 是等价无穷小等价于 \(\beta = \alpha + 0(\alpha)\) 。
等价无穷小公式( \(x \rightarrow 0\) )
- \(\sin x \rightarrow x\)、\(\tan x \rightarrow x\)、\(\arcsin x \rightarrow x\)、\(\arctan x \rightarrow x\)
- \(1 - \cos x \rightarrow \frac{1}{2}x^2\)、\(\cos x - 1 \rightarrow -\frac{1}{2}x^2\)
- \(\sqrt{1+x} - 1 \rightarrow \frac{1}{2}x\)、\(1 - \sqrt{1+x} \rightarrow -\frac{1}{2}x\)
- \(\ln (1+x) \rightarrow x\)、\(e^x - 1 \rightarrow x\) 、 \(1 - e^x \rightarrow -x\)
- \(a^x - 1 \rightarrow x \ln a\)、\(1 - a^x \rightarrow -x \ln a\)
规则
- 相乘除的因式可替换,加减一般不能替换。
- 可以对分子或分母单独替换,不必同时替换。