问题一

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问题一：数学模型与求解方法

一、模型基本元素与符号定义

1. 无人机航迹（Trajectory）

无人机航迹被离散化为一系列时间点上的状态，记为序列

\[\mathcal{T} = \{S_i\}_{i=0}^{N-1} \]

其中：

• 每个状态点 \(S_i\) 包含：

  • 时间戳 \(t_i\) （单位：s），且满足 \(t_{i+1} - t_i = 1 \text{s}\)；
  • 三维空间位置 \(\mathbf{p}_i = (x_i, y_i, z_i)\)（单位：m）；
  • 三维速度矢量 \(\mathbf{v}_i = (v_{x,i}, v_{y,i}, v_{z,i})\)（单位：m/s）。

代码对应： trajectory.py 中的 Trajectory 与 TrajectoryPoint 类。

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2. 雷达部署（Radar Deployment）

红方部署了 4 部 A 型雷达，构成雷达集合

\[\mathcal{R} = \{R_j\}_{j=1}^{4} \]

每部雷达 \(R_j\) 的属性包括：

• 位置坐标：
  \(\mathbf{p}^{(R_j)} = (x_j, y_j, z_j)\)，
  其中 \(z_j\) 为地形高程加上天线高度 \(h\)。

• 性能参数：

  • 最大探测距离 \(R_{\max}\)
  • 最优探测距离 \(R_o\)
  • 俯仰角范围 \([\theta_{\min}, \theta_{\max}]\)
  • 探测概率范围 \([P_{d,\min}, P_{d,\max}]\)
  • 天线高度 \(h\)
  • 最低遮挡仰角裕度 \(\alpha_{\text{clear}}\)（题中为 1°）

代码对应： radar.py 中的 Radar 类，在 main.py 的 load_radars 函数中初始化。

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3. 地形（Terrain）

地形由离散高程矩阵 \(H\) 表示，网格间距为 \(\Delta x = \Delta y = 25\text{m}\)。
任意点 \((x, y)\) 的地面高程 \(h(x, y)\) 通过双线性插值得到。

代码对应： terrain.py 中的 TerrainGrid 类，其 elevation(x, y) 方法实现双线性插值。

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二、核心计算模型

1. 雷达-目标几何关系

对于任意雷达 \(R_j\) 与航路点 \(S_i\)，计算：

• 斜距（Slant Range）：

  \[d_{ij} = \|\mathbf{p}_i - \mathbf{p}^{(R_j)}\| \]

• 俯仰角（Elevation Angle）：

  \[\theta_{ij} = \arcsin\left(\frac{z_i - z_j}{d_{ij}}\right) \]

代码对应： geometry.py 中的 distance 与 elevation_angle 函数。

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2. 探测条件判定

航路点 \(S_i\) 被雷达 \(R_j\) 探测到需同时满足以下条件：

(1) 视线无遮挡（LoS）

沿雷达与目标点连线采样，计算每个采样点的地形仰角：

\[\beta_k = \arctan\left(\frac{h(x_k, y_k) - z_j}{\|\mathbf{p}_k^{\text{xy}} - \mathbf{p}^{(R_j)}_{\text{xy}}\|}\right) \]

取最大值：

\[\beta_{\max} = \max_k\{\beta_k\} \]

无遮挡条件为：

\[\theta_{ij} \ge \beta_{\max} + \alpha_{\text{clear}} \]

代码对应： detection.py 中的 terrain_blocking_angle 函数。

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(2) 在最大探测距离内

\[d_{ij} \le R_{\max} \]

(3) 在俯仰角范围内

\[\theta_{\min} \le \theta_{ij} \le \theta_{\max} \]

若任一条件不满足，则探测概率 \(P_d(R_j, S_i) = 0\)。

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3. 探测概率 \(P_d\) 计算

当目标满足探测条件时，\(P_d\) 随距离变化的分段线性函数为：

\[P_d(R_j, S_i) = \begin{cases} P_{d,\min} + (P_{d,\max} - P_{d,\min}) \cdot \dfrac{d_{ij}}{R_o}, & 0 \le d_{ij} \le R_o \\ P_{d,\max} - \dfrac{P_{d,\max} - P_{d,\min}}{R_{\max} - R_o} \cdot (d_{ij} - R_o), & R_o < d_{ij} \le R_{\max} \end{cases} \]

代码对应： radar.py 中的 raw_probability 方法。

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4. 发现概率 \(P_f\) 计算

(1) 周期平均探测概率

雷达扫描周期为 10 秒（对应 10 个航路点）：

\[\bar{P}_{d,k}^{(j)} = \frac{1}{10} \sum_{m=0}^{9} P_d(R_j, S_{10k+m}) \]

代码对应： detection.py 中的 aggregate_scan_periods 函数。

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(2) 单部雷达发现概率

连续三个周期均探测成功的概率为：

\[P_{f,n}^{(j)} = \bar{P}_{d,n}^{(j)} \cdot \bar{P}_{d,n+1}^{(j)} \cdot \bar{P}_{d,n+2}^{(j)} \]

代码对应： detection.py 中的 sliding_detection_probability 函数。

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(3) 多部雷达联合发现概率

任一雷达发现即视为被发现：

\[P_{f,n}^{(\text{all})} = 1 - \prod_{j=1}^{4} \left(1 - P_{f,n}^{(j)}\right) \]

代码对应： detection.py 中的 fused_window_detection 函数。

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三、求解方法与算法流程

1. 数据加载与初始化

文件：main.py::analyze_route

• 调用 TerrainGrid.from_csv 加载 附件2：三维地形.csv；
• 调用 Trajectory.from_dataframe 加载 附件1航路.csv；
• 使用 load_radars 结合地形计算4部A型雷达的空间坐标并初始化参数。

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2. 逐点计算探测概率

文件：detection.py::evaluate_trajectory

• 对每个航路点 \(S_i\)：

  • 遍历所有雷达 \(R_j\)；

  • 调用 evaluate_detection：

    • 判断遮挡；
    • 计算距离、俯仰角；
    • 若可探测，则求 \(P_d(R_j, S_i)\)；
    • 保存结果为 DetectionSample。

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3. 聚合与分析

文件：main.py::analyze_route

• 对每部雷达的概率序列计算：

  • aggregate_scan_periods → 平均探测概率；
  • sliding_detection_probability → 单雷达发现概率；
  • fused_window_detection → 多雷达联合发现概率。

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4. 结果输出

文件：outputs.py::write_problem1_excel

• 合并航迹与各雷达探测概率；
• 生成符合“第一问”格式要求的 DataFrame；
• 写入 Excel 输出文件。

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四、总体流程概述

1. 数据加载（地形、航迹、雷达参数）
2. 几何计算（距离、角度、遮挡）
3. 概率建模（探测概率、发现概率）
4. 结果输出（数据文件与可视化）

该模型将问题一清晰地分解为数据处理、几何计算、概率建模与结果汇总四个阶段，与代码结构严格对应，为论文撰写提供了完整的数学与算法支撑。

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是否希望我帮您把这一部分进一步润色成论文正式语言版（带段落衔接、避免列表感）？这可以直接用于论文正文。