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简支梁在荷载作用下的变形计算

用于计算简支梁在各种荷载作用下的变形。程序包括解析解和有限元数值解两种方法,并提供了可视化功能。

% 简支梁荷载作用下的变形计算
clear; clc; close all;%% 1. 参数设置
fprintf('设置梁参数和荷载条件...\n');% 梁的几何和材料参数
L = 10;          % 梁长度 (m)
E = 200e9;       % 弹性模量 (Pa) - 钢的典型值
I = 8.33e-6;     % 截面惯性矩 (m^4) - 矩形截面 0.1m x 0.2m
rho = 7850;      % 材料密度 (kg/m^3)
A = 0.02;        % 横截面积 (m^2) - 0.1m x 0.2m% 荷载参数
load_type = 'uniform';  % 荷载类型: 'point', 'uniform', 'triangular'
P = 10000;              % 集中荷载大小 (N) - 用于点荷载
w = 1000;               % 分布荷载集度 (N/m) - 用于均布和三角形荷载
a = 3;                  % 点荷载作用位置 (距左端距离, m)% 有限元参数
n_elements = 20;        % 单元数量%% 2. 解析解计算
fprintf('计算解析解...\n');% 创建位置向量
x = linspace(0, L, 1000);% 根据荷载类型计算变形
switch load_typecase 'point'% 集中荷载作用下的简支梁变形deflection = zeros(size(x));for i = 1:length(x)if x(i) <= adeflection(i) = (P * b * x(i) * (L^2 - x(i)^2 - b^2)) / (6 * E * I * L);elsedeflection(i) = (P * b * (L^2 - x(i)^2 - b^2) * x(i) + P * (x(i) - a)^3) / (6 * E * I * L);endendtitle_str = '集中荷载作用下的简支梁变形';case 'uniform'% 均布荷载作用下的简支梁变形deflection = (w * x .* (L^3 - 2 * L * x.^2 + x.^3)) / (24 * E * I);title_str = '均布荷载作用下的简支梁变形';case 'triangular'% 三角形分布荷载作用下的简支梁变形% 假设三角形荷载从左侧最大w到右侧为0deflection = (w * x .* (7 * L^4 - 10 * L^2 * x.^2 + 3 * x.^4)) / (360 * E * I * L);title_str = '三角形分布荷载作用下的简支梁变形';otherwiseerror('不支持的荷载类型。请选择 ''point'', ''uniform'', 或 ''triangular''');
end% 计算转角和弯矩
slope = gradient(deflection, x(2)-x(1));
moment = -E * I * gradient(slope, x(2)-x(1));
shear = gradient(moment, x(2)-x(1));%% 3. 有限元数值解
fprintf('进行有限元分析...\n');% 调用有限元函数
[fe_deflection, fe_slope, fe_moment, fe_shear, nodes] = beam_fem_analysis(L, E, I, rho, A, load_type, P, w, a, n_elements);%% 4. 结果可视化
fprintf('绘制结果...\n');% 绘制变形图
figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);subplot(2,2,1);
plot(x, deflection * 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(nodes, fe_deflection * 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);
xlabel('位置 (m)');
ylabel('挠度 (mm)');
title('梁的挠度曲线');
legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');
grid on;% 绘制转角图
subplot(2,2,2);
plot(x, slope * 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(nodes, fe_slope * 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);
xlabel('位置 (m)');
ylabel('转角 (mrad)');
title('梁的转角曲线');
legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');
grid on;% 绘制弯矩图
subplot(2,2,3);
plot(x, moment / 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(nodes, fe_moment / 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);
xlabel('位置 (m)');
ylabel('弯矩 (kN·m)');
title('梁的弯矩图');
legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');
grid on;% 绘制剪力图
subplot(2,2,4);
plot(x, shear / 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(nodes, fe_shear / 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);
xlabel('位置 (m)');
ylabel('剪力 (kN)');
title('梁的剪力图');
legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');
grid on;sgtitle(sprintf('%s (L = %.1f m, E = %.0f GPa, I = %.2e m^4)', ...title_str, L, E/1e9, I), 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');% 绘制梁的变形形状
figure;
plot_beam_deformation(nodes, fe_deflection, L, title_str);%% 5. 结果输出
fprintf('\n===== 计算结果摘要 =====\n');
fprintf('最大挠度: %.4f mm\n', max(deflection) * 1000);
fprintf('最大转角: %.4f mrad\n', max(abs(slope)) * 1000);
fprintf('最大弯矩: %.4f kN·m\n', max(abs(moment)) / 1000);
fprintf('最大剪力: %.4f kN\n', max(abs(shear)) / 1000);fprintf('\n有限元分析结果:\n');
fprintf('最大挠度: %.4f mm\n', max(fe_deflection) * 1000);
fprintf('最大转角: %.4f mrad\n', max(abs(fe_slope)) * 1000);
fprintf('最大弯矩: %.4f kN·m\n', max(abs(fe_moment)) / 1000);
fprintf('最大剪力: %.4f kN\n', max(abs(fe_shear)) / 1000);%% 6. 有限元分析函数
function [deflection, slope, moment, shear, nodes] = beam_fem_analysis(L, E, I, rho, A, load_type, P, w, a, n_elements)% 简支梁有限元分析% 节点和单元定义n_nodes = n_elements + 1;nodes = linspace(0, L, n_nodes);h = L / n_elements;  % 单元长度% 初始化全局刚度矩阵和荷载向量K = zeros(2 * n_nodes);F = zeros(2 * n_nodes, 1);% 组装全局刚度矩阵for i = 1:n_elements% 单元刚度矩阵ke = (E * I / h^3) * [12,  6*h, -12,  6*h;6*h, 4*h^2, -6*h, 2*h^2;-12, -6*h, 12, -6*h;6*h, 2*h^2, -6*h, 4*h^2];% 组装到全局矩阵dofs = [2*i-1, 2*i, 2*i+1, 2*i+2];K(dofs, dofs) = K(dofs, dofs) + ke;end% 组装荷载向量switch load_typecase 'point'% 找到最接近荷载位置的节点[~, node_idx] = min(abs(nodes - a));F(2*node_idx-1) = P;  % 施加集中力case 'uniform'% 均布荷载等效节点荷载for i = 1:n_elementsfe = w * h * [1/2; h/12; 1/2; -h/12];dofs = [2*i-1, 2*i, 2*i+1, 2*i+2];F(dofs) = F(dofs) + fe;endcase 'triangular'% 三角形分布荷载等效节点荷载for i = 1:n_elementsx1 = nodes(i);x2 = nodes(i+1);w1 = w * (1 - x1/L);  % 左侧荷载强度w2 = w * (1 - x2/L);  % 右侧荷载强度fe = h * [ (3*w1 + w2)/12; h*(2*w1 + w2)/30;(w1 + 3*w2)/12;-h*(w1 + 2*w2)/30 ];dofs = [2*i-1, 2*i, 2*i+1, 2*i+2];F(dofs) = F(dofs) + fe;endend% 应用边界条件 (简支梁: 左端挠度和转角为0,右端挠度为0)fixed_dofs = [1, 2, 2*n_nodes-1];  % 左端挠度和转角,右端挠度free_dofs = setdiff(1:2*n_nodes, fixed_dofs);% 求解方程组U = zeros(2*n_nodes, 1);U(free_dofs) = K(free_dofs, free_dofs) \ F(free_dofs);% 提取结果deflection = U(1:2:end);      % 挠度slope = U(2:2:end);           % 转角% 计算弯矩和剪力moment = zeros(n_nodes, 1);shear = zeros(n_nodes, 1);for i = 1:n_elements% 单元节点位移ue = U([2*i-1, 2*i, 2*i+1, 2*i+2]);% 单元弯矩和剪力for xi = [0, h]  % 在单元两端计算N1 = 1 - 3*(xi/h)^2 + 2*(xi/h)^3;N2 = xi * (1 - xi/h)^2;N3 = 3*(xi/h)^2 - 2*(xi/h)^3;N4 = xi * ((xi/h)^2 - xi/h);N = [N1, N2, N3, N4];dN1 = -6*xi/h^2 + 6*xi^2/h^3;dN2 = 1 - 4*xi/h + 3*xi^2/h^2;dN3 = 6*xi/h^2 - 6*xi^2/h^3;dN4 = -2*xi/h + 3*xi^2/h^2;dN = [dN1, dN2, dN3, dN4];d2N1 = -6/h^2 + 12*xi/h^3;d2N2 = -4/h + 6*xi/h^2;d2N3 = 6/h^2 - 12*xi/h^3;d2N4 = -2/h + 6*xi/h^2;d2N = [d2N1, d2N2, d2N3, d2N4];% 弯矩 M = EI * d²w/dx²M = E * I * d2N * ue;% 剪力 V = dM/dx = EI * d³w/dx³d3N1 = 12/h^3;d3N2 = 6/h^2;d3N3 = -12/h^3;d3N4 = 6/h^2;d3N = [d3N1, d3N2, d3N3, d3N4];V = E * I * d3N * ue;% 存储结果node_idx = i + (xi > 0);moment(node_idx) = M;shear(node_idx) = V;endend
end%% 7. 梁变形形状绘制函数
function plot_beam_deformation(nodes, deflection, L, title_str)% 绘制梁的变形形状% 放大变形以便可视化scale_factor = 50;deflected_shape = nodes + deflection * scale_factor;% 绘制原始梁和变形后的梁figure;plot(nodes, zeros(size(nodes)), 'k-', 'LineWidth', 3);hold on;plot(deflected_shape, zeros(size(nodes)), 'r-', 'LineWidth', 2);% 绘制连接线for i = 1:length(nodes)plot([nodes(i), deflected_shape(i)], [0, 0], 'b--', 'LineWidth', 0.5);end% 设置图形属性axis equal;xlim([-0.1*L, 1.1*L]);ylim([-0.1*L, 0.1*L]);xlabel('位置 (m)');title(sprintf('%s\n变形形状 (放大 %d 倍)', title_str, scale_factor));legend('原始梁', '变形后梁', 'Location', 'Best');grid on;% 添加支座符号hold on;plot(0, 0, '^', 'MarkerSize', 15, 'MarkerFaceColor', 'g');plot(L, 0, '^', 'MarkerSize', 15, 'MarkerFaceColor', 'g');% 添加荷载示意if contains(title_str, '集中荷载')text(a, -0.02*L, '↓ P', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold', ...'HorizontalAlignment', 'center');elseif contains(title_str, '均布荷载')for x = linspace(0, L, 10)plot([x, x], [0, -0.02*L], 'k-', 'LineWidth', 1.5);endtext(L/2, -0.04*L, 'w (N/m)', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold', ...'HorizontalAlignment', 'center');elseif contains(title_str, '三角形')for x = linspace(0, L, 10)h = 0.02 * L * (1 - x/L);plot([x, x], [0, -h], 'k-', 'LineWidth', 1.5);endtext(L/2, -0.04*L, 'w (N/m)', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold', ...'HorizontalAlignment', 'center');end
end%% 8. 交互式参数调整函数(可选)
function interactive_beam_analysis()% 交互式简支梁分析界面fig = figure('Position', [100, 100, 800, 600], 'Name', '简支梁变形分析');% 创建控件uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 560, 100, 20], 'String', '梁长度 (m):');length_edit = uicontrol('Style', 'edit', 'Position', [120, 560, 60, 20], 'String', '10');uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 530, 100, 20], 'String', '弹性模量 (GPa):');E_edit = uicontrol('Style', 'edit', 'Position', [120, 530, 60, 20], 'String', '200');uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 500, 100, 20], 'String', '惯性矩 (m^4):');I_edit = uicontrol('Style', 'edit', 'Position', [120, 500, 60, 20], 'String', '8.33e-6');uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 470, 100, 20], 'String', '荷载类型:');load_popup = uicontrol('Style', 'popupmenu', 'Position', [120, 470, 100, 20], ...'String', {'集中荷载', '均布荷载', '三角形荷载'});uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 440, 100, 20], 'String', '荷载大小:');load_edit = uicontrol('Style', 'edit', 'Position', [120, 440, 60, 20], 'String', '10000');uicontrol('Style', 'text', 'Position', [20, 410, 100, 20], 'String', '荷载位置 (m):');pos_edit = uicontrol('Style', 'edit', 'Position', [120, 410, 60, 20], 'String', '3');uicontrol('Style', 'pushbutton', 'Position', [20, 370, 160, 30], 'String', '计算', ...'Callback', @calculate_callback);% 回调函数function calculate_callback(~, ~)% 获取参数值L = str2double(get(length_edit, 'String'));E = str2double(get(E_edit, 'String')) * 1e9;I = str2double(get(I_edit, 'String'));load_val = str2double(get(load_edit, 'String'));a = str2double(get(pos_edit, 'String'));% 获取荷载类型load_types = {'point', 'uniform', 'triangular'};load_idx = get(load_popup, 'Value');load_type = load_types{load_idx};% 执行计算main_beam_analysis(L, E, I, load_type, load_val, a);end
end%% 9. 主分析函数(供交互式界面调用)
function main_beam_analysis(L, E, I, load_type, load_val, a)% 简化的主分析函数% 设置默认参数rho = 7850;A = 0.02;n_elements = 20;% 根据荷载类型分配参数if strcmp(load_type, 'point')P = load_val;w = 1000;  % 默认值,不会使用elseP = 10000; % 默认值,不会使用w = load_val;end% 创建位置向量x = linspace(0, L, 1000);% 根据荷载类型计算变形switch load_typecase 'point'b = L - a;  % 荷载到右端的距离deflection = zeros(size(x));for i = 1:length(x)if x(i) <= adeflection(i) = (P * b * x(i) * (L^2 - x(i)^2 - b^2)) / (6 * E * I * L);elsedeflection(i) = (P * b * (L^2 - x(i)^2 - b^2) * x(i) + P * (x(i) - a)^3) / (6 * E * I * L);endendtitle_str = '集中荷载作用下的简支梁变形';case 'uniform'deflection = (w * x .* (L^3 - 2 * L * x.^2 + x.^3)) / (24 * E * I);title_str = '均布荷载作用下的简支梁变形';case 'triangular'deflection = (w * x .* (7 * L^4 - 10 * L^2 * x.^2 + 3 * x.^4)) / (360 * E * I * L);title_str = '三角形分布荷载作用下的简支梁变形';end% 有限元分析[fe_deflection, fe_slope, fe_moment, fe_shear, nodes] = beam_fem_analysis(...L, E, I, rho, A, load_type, P, w, a, n_elements);% 绘制结果figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);subplot(2,2,1);plot(x, deflection * 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);hold on;plot(nodes, fe_deflection * 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);xlabel('位置 (m)');ylabel('挠度 (mm)');title('梁的挠度曲线');legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');grid on;% 计算转角和弯矩slope = gradient(deflection, x(2)-x(1));moment = -E * I * gradient(slope, x(2)-x(1));subplot(2,2,2);plot(x, slope * 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);hold on;plot(nodes, fe_slope * 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);xlabel('位置 (m)');ylabel('转角 (mrad)');title('梁的转角曲线');legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');grid on;subplot(2,2,3);plot(x, moment / 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);hold on;plot(nodes, fe_moment / 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);xlabel('位置 (m)');ylabel('弯矩 (kN·m)');title('梁的弯矩图');legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');grid on;subplot(2,2,4);shear = gradient(moment, x(2)-x(1));plot(x, shear / 1000, 'b-', 'LineWidth', 2);hold on;plot(nodes, fe_shear / 1000, 'ro--', 'LineWidth', 1, 'MarkerSize', 4);xlabel('位置 (m)');ylabel('剪力 (kN)');title('梁的剪力图');legend('解析解', '有限元解', 'Location', 'Best');grid on;sgtitle(sprintf('%s (L = %.1f m, E = %.0f GPa, I = %.2e m^4)', ...title_str, L, E/1e9, I), 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');% 输出结果fprintf('\n最大挠度: %.4f mm\n', max(deflection) * 1000);fprintf('有限元最大挠度: %.4f mm\n', max(fe_deflection) * 1000);
end% 运行交互式界面(取消注释以使用)
% interactive_beam_analysis();

程序说明

这个MATLAB程序提供了简支梁在荷载作用下的变形计算,包括以下功能:

1. 解析解计算

  • 支持三种常见荷载类型:集中荷载、均布荷载和三角形分布荷载
  • 计算梁的挠度、转角、弯矩和剪力
  • 基于梁弯曲理论的基本公式

2. 有限元数值解

  • 使用梁单元进行有限元分析
  • 可以处理各种荷载条件和边界条件
  • 提供与解析解的对比

3. 可视化功能

  • 绘制梁的挠度曲线、转角曲线、弯矩图和剪力图
  • 显示梁的变形形状(放大效果)
  • 比较解析解和有限元解

4. 交互式界面(可选)

  • 提供图形用户界面,方便参数调整
  • 实时计算和显示结果

使用方法

  1. 直接运行程序:程序将使用默认参数进行计算并显示结果
  2. 修改参数:在代码开头部分修改梁的参数和荷载条件
  3. 使用交互式界面:取消最后一行注释,运行interactive_beam_analysis()函数

理论基础

简支梁弯曲基本方程

简支梁的弯曲行为由以下微分方程描述:

d²/dx² (EI d²w/dx²) = q(x)

其中:

  • w(x) 是梁的挠度
  • E 是弹性模量
  • I 是截面惯性矩
  • q(x) 是分布荷载

参考代码 简支梁荷载作用下的变形计算 www.youwenfan.com/contentcnj/63960.html

有限元方法

程序使用欧拉-伯努利梁单元进行有限元分析,每个节点有两个自由度:挠度和转角。单元刚度矩阵为:

k = (EI/L³) * [12   6L   -12   6L6L  4L²   -6L  2L²-12  -6L   12   -6L6L  2L²   -6L  4L²]

扩展功能

程序可以进一步扩展以包括:

  1. 更多荷载类型:梯形荷载、任意分布荷载等
  2. 多种边界条件:固支梁、悬臂梁等
  3. 材料非线性:考虑塑性变形
  4. 几何非线性:大变形分析
  5. 动力分析:考虑振动和动力响应

这个程序提供了一个完整的简支梁变形分析工具,既可以用于教学演示,也可以用于工程计算。

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=35895

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