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骗我呢

news 2025/10/21 20:45:28

\(\mathbf{Part. 1}\)

从右往左考虑肯定没啥前途，我们考虑从上往下扫行。对于每一行，它上面的元素肯定都是单调递增的，又知道元素的值域在 \(0\) 到 \(m\)，而一行总共有 \(m\) 个数，因此每行可以被表示为 \(0\) 到 \(m\) 失去一个数后按顺序排好。因此，我们可以用一个 \(0 \leq x \leq m\) 的数来表示一行。

我们设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 行，第 \(i\) 行失去了 \(j\) 的方案数。那么，考虑相邻两行如何转移。

首先，假设我们要从 \(i - 1\) 向 \(i\) 转移，而 \(i - 1\) 失去的是 \(x\)。分两部分：

对于第 \(i - 1\) 行的 \(x + 1\) 到 \(m\)，转移到 \(i\) 行后肯定是 \(x + 2\) 到 \(m\)
对于 \(0\) 到 \(x - 1\)，我们可以让消失的数从 \(0\) 取到 \((x + 2) - 1 = x + 1\)

上面结合具体实例理解。

假设 \(i\) 失去了 \(x\)，\(i - 1\) 失去了 \(y\)，有 \(x \leq y - 1\)，因此 \(f_{i, j} = \sum_{k = 1}^{j + 1} f_{i - 1, k} = f_{i, j - 1} + f_{i - 1, j + 1}\)。

这里将求和转化为两个数相加十分关键。

\(\mathbf{Part. 2}\)

我们观察这个 DP 式子，画出转移的图：

可以看到，有两种移动方式：向右或者向左上。不妨将这个东西转化为我们更熟悉的网格图，向右和向上。如图。

紫色是处理 \(f_{i, 0} = f_{i - 1, 0}\) 时的特殊转移。

那么，这个 DP 的式子实际上就等价于只经过图中的这些点和边，从 \((0, 0)\) 到 \((n + 1, m)\) 的方案数。

而这些边点的限制就相当于我们只能向右 / 向上走，不经过两边的斜率为 \(1\) 的斜线。

对于做括号序列比较多的同学来说，这个就比较经典了。

\(\mathbf{Part. 3}\)

我们考虑反射容斥。

如上图，我们假设左边的斜线为 \(A\)，右边的为 \(B\)，那么先容斥，答案转化为 \(\text{ANS} - \text{先碰到到 A 的路径个数} - \text{先碰到到 B 的路径个数}\)。显然，先到 \(A\) 和先到 \(B\) 的两个问题是对称的，所以我们只考虑 \(A\)。

如上图，我们取出来这条路径第一次碰到 \(A\) 的点，将这个点之后的整条路经翻转到 \(P'\)，并观察 \(O \to P\) 先到 \(A\) 的路径和 \(O \to P'\) 的路径。实际上，这两个集合可以构成双射，证明显然。

因此，我们只需要计算 \(O \to P'\) 的路径数即可。

问题似乎解决了……吗？

\(\mathbf{Part. 4}\)

我们来想为什么这样会算错。

如上图，我们有一条经过 \(A, B\) 的路径，但在被 \(A\) 翻折一次，被 \(B\) 翻着一次后，被减了两次。

其实，\(\mathbf{Part. 3}\) 中我们计算的路径个数，只是经过 \(A\) 的路径个数，而不是先碰到 \(A\) 的路径个数。所以，我们还要加上那些被重复计算的方案，比如分别经过 \(A, B\) 和 \(B, A\) 的路径。

因此，我们定义 \(f(t)\)，其中 \(f(\texttt{AB})\) 就表示分别经过 \(A, B\) 的路径个数，\(f(\texttt{BAB})\) 就表示分别经过 \(B,A,B\) 的路径个数。只要能算出来 \(f\)，答案就是 \(\text{ANS} - f(\texttt{A}) - f(\texttt{B}) + f(\texttt{AB}) + f(\texttt{BA}) - \cdots\)。