这篇文章主要是做一个总结和铺垫。
我们做物理题时，常常要解一些复杂的微分方程（便便），但是我们对方程做一些变换往往会使微分方程变成线性方程，这是好的，于是专门研究一些变换是重要的。
一些记号
\[\begin{aligned}
f*g&=\int_0^\infty f(t)g\left(\frac xt\right)\frac{\mathrm dt}{t}\\
\mathrm{}\\
f\circ g&=\int_0^\infty f(xt)g(t)\,\mathrm dt\\
\mathrm{}\\
{x\to x_0\pm0}&\Leftrightarrow x\to x_0^\pm\\
\mathrm{}\\
\int^\infty&\Leftrightarrow\int^{+\infty}\\
\mathrm{}\\
\mathcal{Transform}\{f\}&\Leftrightarrow\mathcal{Transform}\{f(t)\}(s)
\end{aligned}
\]
傅里叶变换当然是非常常见的变换，它的主要方式是把函数转换成正余弦的频谱图。这个频谱图其实很常见，现在打开录音机，随便乱叫几声，那堆在动的线条就是频谱图。
然而为什么是正余弦？主要原因是傅里叶变换最初是用于分析热传导的，而温度刚好是正余弦时是最容易计算的热传导时的温度变化的，就直接是振幅逐渐减小（我猜的，没学过热学），但是热量是可以叠加的，于是把热量函数 \(f(x)\) 拆成正余弦的叠加就可以大大简化我们的分析过程。
那傅里叶变换是怎么实现的呢，先从实数如首先。拿正弦为例，我们有：
\[\begin{aligned}
&\int_{-\pi}^\pi \sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x=
\begin{cases}
\frac12,&n=m,\\
0,&\text{otherwise.}
\end{cases}\\
&\int_{-\pi}^\pi \cos nx\cos mx\,\mathrm{d}x=
\begin{cases}
\frac12,&n=m,\\
0,&\text{otherwise.}
\end{cases}\\
&\int_{-\pi}^\pi \sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0\\
\end{aligned}
\]
其中 \(n,m\in\mathbb{Z}\)，那么我们称 \(\left\{\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos2x,\cdots\right\}\) 为正交系。
那么根据正余弦的正交性，我们可以对任意一个由正余弦（或者其他正交系）叠加而成的函数进行傅里叶级数（此时并不是变换），即：
\[f(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}A_k\cos kx+B_k\sin kx
\]
注意，由于我们求出来的是一个定义域仅在 \([-\pi,\pi]\) 的函数，于是这里使用的是 \(\sim\) 而非 \(=\)。
考虑求解系数 \(A_n,B_n\)。我们对两边乘上 \(\sin nx\)，再两边 \(\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\)，得到：
\[\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x&=\int_{-\pi}^\pi\sum_{k=0}^{\infty}A_k\cos kx\sin nx+B_k\sin kx\sin nx\,\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\pi}^\pi B_n\sin nx \sin nx\,\mathrm{d}x\\
&=\pi B_n
\end{aligned}
\]
于是
\[B_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x
\]
同样的方法，可以推导出 \(A_n\)，但是这里有个小问题，就是这个在 \(n=1\) 时是有特例的，我们特殊计算一下：
\[\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x=2\pi A_0\\
\Rightarrow A_0=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x
\]
统一一下，于是就有：
\[f(x)\sim\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos nx+B_n\sin nx
\]
根据同样的方法，对于周期为 \(T=\frac{2\pi}\omega\)，对于定义在 \([-T,T]\) 上的函数 \(f(x)\)，那么有：
\[f(x)\sim\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos n\omega x+B_n\sin n\omega x
\]
其中：
\[\begin{aligned}
A_n=\frac2T\int_{-T}^Tf(x)\cos n\omega x\,\mathrm{d}x\\
B_n=\frac2T\int_{-T}^Tf(x)\sin n\omega x\,\mathrm{d}x\\
\end{aligned}
\]
关于傅里叶级数还有很多问题没有讨论，如可积性之类，还有唯一性等等，但是这些较为细的内容可能稍微有些难度。作为学习笔记，只是起到记录作用，隧在此不再做讨论。
我们尝试统一一下系数，这里使用欧拉公式：
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\]
于是：
\[f(x)\sim\frac{A_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{A_n+B_n}2e^{in\omega }+\frac{A_n-B_n}2e^{-in\omega}\right]
\]
令新的系数：
\[\begin{aligned}
C_n&=\frac{A_n+B_n}{2}\\
&=\frac1T\int_{-T}^Tf(x)e^{-in\omega x}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
\]
同时，把级数拆成两半后又可以合并，于是有：
\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega}
\]
这里换成了 \(=\)，方便讲解傅里叶变换主要是。
前面铺垫的这些是傅里叶级数，他主要是离散的正交系。
我们考虑周期 \(T\to\infty\) 的情况，那么此时 \(\omega\to0\)，考虑到至少有： \(n\mathrm{d}\omega\to\omega\)，于是我们把系数 \(C_n\) 改写成关于 \(\omega\) 的函数 \(C(\omega)\)，于是就有：
\[C(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}{t}
\]
注意到这种情况下，前面的式子刚好是黎曼和的形式，于是：
\[f(x)=\int_{-\infty}^\infty C(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega
\]
我们定义傅里叶变换：
\[\mathcal{F}(\omega)=2\pi C(\omega)
\]
于是就有：
\[\begin{aligned}
f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega\\
\mathrm{}\\
\mathcal{F}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}{t}
\end{aligned}
\]
傅里叶变换后的函数有许多性质，但是这些性质显然定义更广的拉普拉斯变换都具备，于是这些性质就放在拉普拉斯变换了。
傅里叶变换极大的简化了许多计算，但在某些特定场景中，却可能会失效，如狄拉克函数，或者高阶指数幂函数，积分发散了。这时，引入一个收敛因子是有效的。我们重新定义变换：
\[\mathcal{L}\{f(t)\}(\sigma,\omega)=\int_{-0}^\infty f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t
\]
但是，注意到 \(\sigma+i\omega\) 刚好就是一个复数，于是我们令 \(s=\sigma+i\omega\)，于是有：
\[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{-0}^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm dt
\]
还有逆变换：
\[f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \mathcal{L}(s)e^{st}\,\mathrm dt
\]
拉普拉斯变换有许多好的性质，如：
\[\begin{aligned}
\large\text{1. } &\mathcal L\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal L\{f(t)\}+b\mathcal L\{g(t)\}\\
\large\text{2. } &\mathcal L\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^n\mathcal L\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\
\large\text{3. } &\mathcal L\left\{\underbrace{\int_0^t\,\mathrm dt\int_0^t\,\mathrm dt\cdots\int_0^t f(t)\,\mathrm dt}_{\text{nth integral}}\right\}=\frac1{s^n}\mathcal L\{f(t)\}\\
\large\text{4. } &\mathcal L\{f*g\}=\mathcal L\{f(t)\}\cdot\mathcal L\{g(t)\}\\\\
&\text{blah blah ...}
\end{aligned}
\]
这个也是由傅里叶变换衍生出来的。
\[\mathcal M\{f(x)\}(s)=\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,\mathrm dx\\
\mathrm{}\\
f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}x^{-s}\mathcal M(s)\,\mathrm ds
\]
这个变换与傅里叶变换的联系：
\[\mathcal M\{f(x)\}(s)=\mathcal F\{f(e^{-x})\}(-is)
\]
Mallin Transform 为拉马努金大定理奠定了基础（挖坑），这里给一些性质：
\[\begin{aligned}
\large\text{1. } &\mathcal M\{f*g\}=\mathcal M\{f(x)\}\cdot\mathcal M\{g(x)\}\\
\large\text{2. } &\mathcal M\{f\circ g\}=\mathcal M\{f(x)\}\cdot\mathcal M\{g(x)\}(1-s)\\
\large\text{3. } &\mathcal M\{f\cdot g\}=\mathcal M^{-1}\{\mathcal M\{f\}(x)\cdot\mathcal M\{g\}(s-x)\}(1)\\
&\text{blah blah ...}
\end{aligned}
\]
附件
拉普拉斯变换表。
| \(f(t)\) |
\(\mathcal L\{f(t)\}(s)\) |
| \(\delta\) |
\(s\) |
| \(1\) |
\(\frac 1s\) |
| \(e^{at}\) |
\(\frac1{s-a}\) |
| \(e^{at}t^n\) |
\(\frac{\Gamma(n+1)}{(s-a)^{n+1}}\) |
| \(\sin at\) |
\(\frac a{s^2+a^2}\) |
| \(\cos at\) |
\(\frac s{s^2+a^2}\) |
| \(\sinh at\) |
\(\frac a{s^2-a^2}\) |
| \(\sinh at\) |
\(\frac s{s^2-a^2}\) |
