群环域
群：代数结构 \((G,\cdot)\) 满足结合律，存在单位元，逆元
即 \(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
\(\exists e\forall a\quad a\cdot e=e\cdot a=a\) （可以证明单位元唯一）
\(\forall a\exists b \quad a\cdot b=b\cdot a=e\) （可以证明左逆元=右逆元且唯一）
我们有 \((a^{-1})^{-1}=a\) ，因为能考察 \(a\cdot a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}\)
例：\((Z_n,+),(Z_n^{*},×),(Q-\{0\},×)\)
若还满足交换律，则我们称之为 Abel群 ，即交换群
子群(Subgroup)
\(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H\le G\) ，满足以下条件：
\(H\subseteq G\) ，且运算封闭，即 \(e\in H\) 且 \(\forall a,b\in H,ab\in H,a^{-1}\in H\) 。
对于 \(S\subseteq G\) ，称 \(\lang S\rang\) 为包含 \(S\) 的最小子群。
陪集(coset)
\(aH=\{ab|b\in H\}\) 称为左陪集，同理定义 \(Ha\)
性质：\(aH\) 和 \(bH\) 的关系：要么 \(aH=bH\) ，要么 \(aH\cap bH=\empty\)
正规子群(Normal Subgroup)
\(N\unlhd G\) 当且仅当 \(N\le G\) 且 \(\forall a\in G,aN=Na\)
或者说 \(\forall a\in G,\forall g\in N,aga^{-1}\in N\)
考虑对 \(\{aN|a\in G\}\) 定义二元运算 \((aN)\cdot (bN)\) 等于 \((ab)N\) 发现它其实构成了一个群
它的单位元是 \(N\) ， \(aN\) 的逆元即 \(a^{-1}N\) 。
这就是 商群(quotient group) ，我们记作 \(G/N\) 。
经典例子： \(Z/nZ\)
我们规定以下记号： \(GL_n(F)\) 是 \(n\) 阶可逆的方阵构成的集合，它关于乘法构成了群
记 \(SL_n(F)=\{M\in GL_n(F)||M|=1\}\) ，则 \(SL_n(F)\le GL_n(F)\)
自由群(free group)
对于字符集 \(\{a,b,\dots\}\) ，我们在 \(\{a,b,a^{-1},b^{-1},\dots\}^{*}\) 上定义等价关系 \(\sim\)，即如果从 \(s\) 开始，不断消掉或添加形如 \(aa^{-1}\) 的子串能得到 \(t\) ，则认为 \(s\sim t\) 。那么 ${a,b,a{-1},b,\dots}^{*}/\sim $ 构成了一个群，它的乘法即：\([s]\cdot [t]=[st]\) ，这里是指两个串拼起来。这个群单位元是空串，逆元即 \((s_1s_2\dots s_t)^{-1}=s_t^{-1}s_{t-1}^{-1}\dots s_1^{-1}\) 这个群被称为自由群
我看到去年期中有这样一个题：对于群 \(G\) ，设 \(s_1,s_2,\dots,s_n\in G\) 满足 \(\lang s_1,s_2,\dots,s_n\rang=G\) ，则存在 \(H\) 使得 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)/H\) 和 \(G\) 同构。这个题做法很显然啊，其实就是构造一个 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)\) 到 \(G\) 的自然映射，说明它是满同态就结束了。
对称群和交错群
\(Sym(\Omega)=\{\text{bijection }f:\Omega\to\Omega\}\)
称 \(S_n\) 是 \(\Omega=\{1,2,\dots,n\}\) 时的对称群
\(Alt_n\) 表示 \(S_n\) 中所有偶置换构成的集合。有 \(Alt_n\unlhd Sym_n\)
二面体群(Dihedral Group)
考虑一个 \(n\) 条边的正多边形，上面的每个顶点有编号。我们可以对它做两种变换，一个是旋转，一个是沿对称轴翻转。
记 \(D_n\le Sym_n\) 为由这两种变换生成的群。它可以被记作 \(\lang r,s|r^n=s^2=1,srs=r^{-1}\rang\)
群的中心(Center)
\(C(G)=\{h\in G|\forall g\in G,hg=gh\}\)
例：\(C(GL_{n×n}(F))=\{aI|a\in F^{*}\}\)
可以说明 \(C(G)\le G\)
中心化子 \(C_g(G)=\{h\in G|gh=hg\}\) 。那显然 \(C(G)=\bigcap\limits_{g}C_g(G)\)