三门问题:
三门问题是一个经典的概率问题,也被称为蒙提霍尔问题,最初由美国数学家蒙提霍尔提出。这个问题涉及到概率、逻辑和心理学等多个领域,引发了大量的争论和讨论。
下面是问题的描述。
假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇:其中一扇后面有一辆车;其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人,开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号门吗?”
问题:此时选择更换得到车的可能性更大吗?
答案:是的。
解法一:
1、车在1号门后的概率是1/3;在2号门+3号门后的概率是2/3;
2、当你选择了1号门,不更改,那么概率还是1/3;
3、2号和3号是一个整体,当主持人帮你过滤掉了一个门后,剩下的那个门的概率是2/3;
解法二:
1、如果不换,那么第一次必须选中有车的门,概率是1/3;
2、如果换,那么第一次必须选中有羊的门,概率是2/3;
所以,换的概率更高。
解法三:
假设三个门的后面,分别是1号门:车; 2号门:羊; 3号门:羊。
1 | 2 | 3 |
---|---|---|
车 | 羊 | 羊 |
我们来看一下用户选择不更换的情况。
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
用户最终结果 | 车 | 羊 | 羊 |
所以当用户不更改时,最终选到车的概率是1/3;
我们再看看用户选择更换时的情况:
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
用户最终结果 | 羊 | 车 | 车 |
这里简单解释一下:
1)用户最初选择1号门时,用户无论选择更换为2还是3,最终的结果是:羊;
2)用户最初选择2号门时,主持人会把3号门的羊展示给用户看,所以用户会更换为1,最终结果是:车;
3)用户选择3号门时,主持人会把2号门的羊展示给用户看,所以用户会更换为1,最终结果是:车;
所以,当用户选择更换时,选到车的概率是2/3;
新的问题一:如果有4个门呢?
4个门后分别为:车羊羊羊
用户不更换的情况:
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
用户最终结果 | 车 | 羊 | 羊 | 羊 |
选到车的概率是1/4;
用户更换的情况:
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
用户结果 | 羊 | 1/2 车 | 1/2车 | 1/2车 |
选到车的概率是:(1/2 * 3 )/4 =3/8
3/8大于1/4;
新的问题二:
如果有n个门,那么不更换的概率为:1/n;
更换的概率为:(n-1)/(n(n-2))
更换的概率要比不更换的概率多:1/(n(n-2));
新的问题三:
如果有n个门,其中有m(m<n-1)个车呢?
来分解一下,4个门,两个车;4个门的背后分别是:车车羊羊
不更改选择时:
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
用户最终结果 | 车 | 车 | 羊 | 羊 |
概率是m/n = 1/2;
更改了选择时:
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
用户最终结果 | 1/2车 | 1/2车 | 车 | 车 |
概率是:3/4
可以推测:
当不更改选择时,选到车的概率是:m/n
当更改选择时,选到车的概率是:
1)先选的是车,结果也是车的情况:m(m-1)/(n-2)
2)先选的是羊,结果是车的情况:(n-m)m/(n-2)
(m(m-1)/(n-2) + (n-m)m/(n-2) )/n= m(n-1)/n(n-2)
代入n=4,m=2的情况验证。
21/2 = 1,22/2=2, 合计为3个;验证完毕。
拿n=5,m=3来验算:
不更改选择
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
用户结果 | 车 | 车 | 车 | 羊 | 羊 |
概率为3/5
更改选择
用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
用户结果 | 2/3车 | 2/3车 | 2/3车 | 1车 | 1车 |
概率为:(3*2/3+2 )/ 5 = 4/5;
代入n=5,m=3的情况验证。
m(m-1)/(n-2) = 32/3=2
(n-m)m/(n-2)=23/3=2;
2+2=4;验算完毕;
所以,当有n个门,m(m<n-1)个车时,
不更换选到车的概率是:m/n;
更换后选到车的概率是:m/n * (n-1)/(n-2)
结论:
这种问题,更改选择会比不更改选择,有更大的概率获取到车。
原因是:主持人帮你排除了一只羊。
2025年9月22日