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一些变换

这篇文章主要是做一个总结和铺垫。
我们做物理题时,常常要解一些复杂的微分方程(便便),但是我们对方程做一些变换往往会使微分方程变成线性方程,这是好的,于是专门研究一些变换是重要的。

一些记号

\[\begin{aligned} f*g&=\int_0^\infty f(t)g\left(\frac xt\right)\frac{\mathrm dt}{t}\\ \mathrm{}\\ f\circ g&=\int_0^\infty f(xt)g(t)\,\mathrm dt\\ \mathrm{}\\ {x\to x_0\pm0}&\Leftrightarrow x\to x_0^\pm\\ \mathrm{}\\ \int^\infty&\Leftrightarrow\int^{+\infty}\\ \mathrm{}\\ \mathcal{Transform}\{f\}&\Leftrightarrow\mathcal{Transform}\{f(t)\}(s) \end{aligned} \]

Fourier Transform

傅里叶变换当然是非常常见的变换,它的主要方式是把函数转换成正余弦的频谱图。这个频谱图其实很常见,现在打开录音机,随便乱叫几声,那堆在动的线条就是频谱图。

然而为什么是正余弦?主要原因是傅里叶变换最初是用于分析热传导的,而温度刚好是正余弦时是最容易计算的热传导时的温度变化的,就直接是振幅逐渐减小(我猜的,没学过热学),但是热量是可以叠加的,于是把热量函数 \(f(x)\) 拆成正余弦的叠加就可以大大简化我们的分析过程。

那傅里叶变换是怎么实现的呢,先从实数如首先。拿正弦为例,我们有:

\[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi \sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \frac12,&n=m,\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases}\\ &\int_{-\pi}^\pi \cos nx\cos mx\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \frac12,&n=m,\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases}\\ &\int_{-\pi}^\pi \sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0\\ \end{aligned} \]

其中 \(n,m\in\mathbb{Z}\),那么我们称 \(\left\{\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos2x,\cdots\right\}\) 为正交系。

那么根据正余弦的正交性,我们可以对任意一个由正余弦(或者其他正交系)叠加而成的函数进行傅里叶级数(此时并不是变换),即:

\[f(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}A_k\cos kx+B_k\sin kx \]

注意,由于我们求出来的是一个定义域仅在 \([-\pi,\pi]\) 的函数,于是这里使用的是 \(\sim\) 而非 \(=\)
考虑求解系数 \(A_n,B_n\)。我们对两边乘上 \(\sin nx\),再两边 \(\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\),得到:

\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x&=\int_{-\pi}^\pi\sum_{k=0}^{\infty}A_k\cos kx\sin nx+B_k\sin kx\sin nx\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\pi}^\pi B_n\sin nx \sin nx\,\mathrm{d}x\\ &=\pi B_n \end{aligned} \]

于是

\[B_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x \]

同样的方法,可以推导出 \(A_n\),但是这里有个小问题,就是这个在 \(n=1\) 时是有特例的,我们特殊计算一下:

\[\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x=2\pi A_0\\ \Rightarrow A_0=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x \]

统一一下,于是就有:

\[f(x)\sim\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos nx+B_n\sin nx \]

根据同样的方法,对于周期为 \(T=\frac{2\pi}\omega\),对于定义在 \([-T,T]\) 上的函数 \(f(x)\),那么有:

\[f(x)\sim\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos n\omega x+B_n\sin n\omega x \]

其中:

\[\begin{aligned} A_n=\frac2T\int_{-T}^Tf(x)\cos n\omega x\,\mathrm{d}x\\ B_n=\frac2T\int_{-T}^Tf(x)\sin n\omega x\,\mathrm{d}x\\ \end{aligned} \]

关于傅里叶级数还有很多问题没有讨论,如可积性之类,还有唯一性等等,但是这些较为细的内容可能稍微有些难度。作为学习笔记,只是起到记录作用,隧在此不再做讨论。

我们尝试统一一下系数,这里使用欧拉公式:

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

于是:

\[f(x)\sim\frac{A_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{A_n+B_n}2e^{in\omega }+\frac{A_n-B_n}2e^{-in\omega}\right] \]

令新的系数:

\[\begin{aligned} C_n&=\frac{A_n+B_n}{2}\\ &=\frac1T\int_{-T}^Tf(x)e^{-in\omega x}\,\mathrm{d}x \end{aligned} \]

同时,把级数拆成两半后又可以合并,于是有:

\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega} \]

这里换成了 \(=\),方便讲解傅里叶变换主要是。

前面铺垫的这些是傅里叶级数,他主要是离散的正交系。
我们考虑周期 \(T\to\infty\) 的情况,那么此时 \(\omega\to0\),考虑到至少有: \(n\mathrm{d}\omega\to\omega\),于是我们把系数 \(C_n\) 改写成关于 \(\omega\) 的函数 \(C(\omega)\),于是就有:

\[C(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}{t} \]

注意到这种情况下,前面的式子刚好是黎曼和的形式,于是:

\[f(x)=\int_{-\infty}^\infty C(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega \]

我们定义傅里叶变换:

\[\mathcal{F}(\omega)=2\pi C(\omega) \]

于是就有:

\[\begin{aligned} f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega\\ \mathrm{}\\ \mathcal{F}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}{t} \end{aligned} \]

傅里叶变换后的函数有许多性质,但是这些性质显然定义更广的拉普拉斯变换都具备,于是这些性质就放在拉普拉斯变换了。

Laplace Transform

傅里叶变换极大的简化了许多计算,但在某些特定场景中,却可能会失效,如狄拉克函数,或者高阶指数幂函数,积分发散了。这时,引入一个收敛因子是有效的。我们重新定义变换:

\[\mathcal{L}\{f(t)\}(\sigma,\omega)=\int_{-0}^\infty f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t \]

但是,注意到 \(\sigma+i\omega\) 刚好就是一个复数,于是我们令 \(s=\sigma+i\omega\),于是有:

\[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{-0}^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm dt \]

还有逆变换:

\[f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \mathcal{L}(s)e^{st}\,\mathrm dt \]

拉普拉斯变换有许多好的性质,如:

\[\begin{aligned} \large\text{1. } &\mathcal L\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal L\{f(t)\}+b\mathcal L\{g(t)\}\\ \large\text{2. } &\mathcal L\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^n\mathcal L\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\ \large\text{3. } &\mathcal L\left\{\underbrace{\int_0^t\,\mathrm dt\int_0^t\,\mathrm dt\cdots\int_0^t f(t)\,\mathrm dt}_{\text{nth integral}}\right\}=\frac1{s^n}\mathcal L\{f(t)\}\\ \large\text{4. } &\mathcal L\{f*g\}=\mathcal L\{f(t)\}\cdot\mathcal L\{g(t)\}\\\\ &\text{blah blah ...} \end{aligned} \]

Mallin Transform

这个也是由傅里叶变换衍生出来的。

\[\mathcal M\{f(x)\}(s)=\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,\mathrm dx\\ \mathrm{}\\ f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}x^{-s}\mathcal M(s)\,\mathrm ds \]

这个变换与傅里叶变换的联系:

\[\mathcal M\{f(x)\}(s)=\mathcal F\{f(e^{-x})\}(-is) \]

Mallin Transform 为拉马努金大定理奠定了基础(挖坑),这里给一些性质:

\[\begin{aligned} \large\text{1. } &\mathcal M\{f*g\}=\mathcal M\{f(x)\}\cdot\mathcal M\{g(x)\}\\ \large\text{2. } &\mathcal M\{f\circ g\}=\mathcal M\{f(x)\}\cdot\mathcal M\{g(x)\}(1-s)\\ \large\text{3. } &\mathcal M\{f\cdot g\}=\mathcal M^{-1}\{\mathcal M\{f\}(x)\cdot\mathcal M\{g\}(s-x)\}(1)\\ &\text{blah blah ...} \end{aligned} \]

附件

拉普拉斯变换表。

\(f(t)\) \(\mathcal L\{f(t)\}(s)\)
\(\delta\) \(s\)
\(1\) \(\frac 1s\)
\(e^{at}\) \(\frac1{s-a}\)
\(e^{at}t^n\) \(\frac{\Gamma(n+1)}{(s-a)^{n+1}}\)
\(\sin at\) \(\frac a{s^2+a^2}\)
\(\cos at\) \(\frac s{s^2+a^2}\)
\(\sinh at\) \(\frac a{s^2-a^2}\)
\(\sinh at\) \(\frac s{s^2-a^2}\)
http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=37265

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