线性同余方程
定义
线性同余方程就是形如 \(ax\equiv b\pmod m\) 其中 \(a,b,m\) 是给定的整数。
解法
由同余的性质可知 \(m\mid ax-b\) 即 \(ax-b=km\) 其中 \(k\in \mathbb{Z}\)。
如果我们设 \(k=-y\) 的话，就有 \(ax+my=b\)，发现了吗？其实这就是 Bézout 定理。
由Bézout 定理我们可以得到，这个同余方程有解当且仅当 \(\gcd(a,m)\mid b\)。
我们考虑在有解的情况下使用扩展欧几里得算法先求解出 \(ax+my=\gcd(a,m)\) 的一组特解 \(\left\{\begin{matrix}x=x_0\\y=y_0\end{matrix}\right.\)，然后呢，我们就可以得到 \(x=\frac{x_0\yimes b}{\gcd(a,m)}\) 就是原方程的一组解。
关于扩展欧几里得算法的说明
内容
我们考虑不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解，我们可以采用递归的方法来求解，实际上这也就是扩展欧几里得算法：
- 显然当 \(b=0\) 时，有 \(\left\{\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\) 满足条件。
- 当 \(b\ne 0\) 时，我们根据欧几里得算法有 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) 于是，我们就有 \((a\bmod b)y+bx=\gcd(b,a\bmod b)\) 又由于 \((a\bmod b)y+bx=\left(a-b\times\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\right)\times y+bx\) 将 \(\operatorname{RHS}\) 展开，合并同类项后有 \((a\bmod b)y+bx=ay+b\times \left(x-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y\right)\) 于是，我们令 \(x_0=y,y_0=x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y\) 就有 \(ax_0+by_0=\gcd(a,b)\)。
代码实现
根据上述内容，我们可以打出扩展欧几里得算法的代码：
int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-z*y;return d;
}
功能介绍
以上函数的返回值为 \(\gcd(a,b)\)，注意到参数 \(x,y\) 均在前面加上了取地址符，表示在函数中可以改变 x 与 y 的值，而函数运行完成后 x 与 y 所保存的值就是 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解。
一道模板题
洛谷 P1082：
这道题目就是模板题，方程可以写成 \(ax+by=1\) 的形式，于是我们使用扩展欧几里得算法，可以求出特解 \(x_0\) 然后 \(x_0\)\bmod b 就是原方程的最小正整数解了。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,b;
int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-(a/b)*y;return d;
}
signed main(){cin>>a>>b;int x,y;exgcd(a,b,x,y);cout<<(x%b+b)%b;return 0;
}
线性同余方程组
作者太懒了，这里先讲解更加宽泛的扩展中国剩余定理吧，等以后再讲解特殊的中国剩余定理，顺便宣传一下博客：link。
问题简述
给定一个 \(k\) 个方程的线性同余方程组：
其中 \(m_1,m_2,\dots,m_k\) 不一定两两互质。
解题方法
我们的大致解题思路为将 \(2\) 个方程合并为一个新的方程，以此类推，最终我们会得到一个 \(x\equiv y\pmod z\) 的一个方程，易见上面的方程组的最小正整数解就是 \(y\)。
接下来我们来解决合并方程的问题，我们考虑如下两个方程：
我们根据第一个式子可以写出 \(x\) 的通解 \(x=a_1+m_1\times k\) 其中 \(k\) 为任意整数，我们将这个通解带入第二个式子就可以得到 \(a_1+m_1\times k\equiv a_2\pmod {m_2}\) 我们移一下项就可以得到 \(m_1\times k\equiv a_2-a_1\pmod {m_2}\)，这就是上面的方程组合并后的结果。
而这个方程有解的充要条件是 \(\gcd(m_1,m_2)\mid a_2-a_1\)，这个其实就是裴蜀定理，这里不再概述。
我们继续讲，我们得到这个充要条件后我们可以判断这个方程是否有解，如果有解我们就继续进行接下来的操作。
我们设 \(d=\gcd(m_1,m_2)\)，然后将我们合并的方程变换一下就是：
然后，我们设 \(m_1'=\frac{m_1}{d},c=\frac{a_2-a_1}{d},m_2'=\frac{m_2}{d}\) 于是我们就有：
注意到此时 \(m_1',m_2'\) 互质，所以 \(m_1'\) 在模 \(m_2'\) 的意义下存在乘法逆元，我们可以使用扩展欧几里得算法来求出逆元，即求出整数 \(inv\) 使得 \(m_1'\times inv\equiv 1\pmod {m_2'}\)，所以我们继续将这个方程变换就变成了：
如果我们记 \(k_0=c\times inv\) 则 \(k\) 的通解为 \(k_0+m_2'\times t\) 其中 \(t\) 为任意整数。
然后我们将这个 \(k\) 带回一开始的式子就可以得出：
我们设 \(x_0=a_1+m_1\times k_0,L=\mathrm{lcm}(m_1,m_2)\) 所以我们就愉快地得出了：
于是，我们完成了合并方程的使命！
最后其实就是一个递推的过程我们一次合并前 \(2\) 个方程，最后就能得到答案！
代码实现
#include<bits/stdc++.h>
#define LL __int128
#define R register
using namespace std;
namespace fastIO{char *p1,*p2,buf[100000];#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)inline void read(LL&n){LL x=0,f=1;char ch=nc();while(ch<48||ch>57){if(ch=='-'){f=-1;}ch=nc();}while(ch>=48&&ch<=57){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=nc();}n=x*f;}inline void read(string&s){s="";char ch=nc();while(ch==' '||ch=='\n'){ch=nc();}while(ch!=' '&&ch!='\n'){s+=ch,ch=nc();}}inline void read(char&ch){ch=nc();while(ch==' '||ch=='\n'){ch=nc();}}inline void write(LL x){if(x<0){putchar('-'),x=-x;}if(x>9){write(x/10);}putchar(x%10+'0');return;}inline void write(const string&s){for(R LL i=0;i<(int)s.size();i++){putchar(s[i]);}}inline void write(const char&c){putchar(c);}
}using namespace fastIO;
inline LL mul(LL a,LL b,const LL&mod){a=(a%mod+mod)%mod; b=(b%mod+mod)%mod;LL res=0;while(b){if(b&1)res=(res+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return res;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y){if(b==0){x=1;y=0;}else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
LL inv_mod(LL a,LL m){LL x,y;exgcd(a,m,x,y);return (x%m+m)%m;
}
LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;
}
LL n,a[100005],b[100005];
signed main(){read(n);for(int i=0;i<n;i++){read(a[i]);read(b[i]);}LL a0=a[0];LL b0=(b[0]%a0+a0)%a0;for(int i=1;i<n;i++){LL ai=a[i];LL bi=(b[i]%ai+ai)%ai;LL d=gcd(a0,ai);LL dif=bi-b0;LL a0_=a0/d;LL ai_=ai/d;LL dif_=dif/d;LL c=(dif_%ai_+ai_)%ai_;LL inv=inv_mod(a0_,ai_);LL t0=mul(inv,c,ai_);LL a0__=(a0/d)*ai;LL mod__=a0__;LL p=mul(a0,t0,mod__);LL b0__=(b0+p)%mod__;a0=mod__;b0=b0__;}write(b0);return 0;
}
一些例题
如果有不会的可以回复作者！
- 洛谷 P5655。
- 洛谷 P2480。