这里将简要介绍一下 Bash Game，Wythoff Game，Nimm Game。
Bash Game
- 问题模型：有一堆物品，数量为 \(n\)，两个人轮流取，每次至少取 \(1\) 个，最多取 \(m\) 个。最后取光者胜。
- 结论：如果 \(n\bmod(m+1)=0\)，则先手必败，否则先手必胜。
- 解释：如果 \(n\) 是 \(m+1\) 的倍数，那么无论先手取多少（比如 \(k\) 个），后手都可以取 \(m+1-k\) 个，使得剩下的物品数仍然是 \(m+1\) 的倍数。这样后手总能取走最后一个。如果不是倍数，先手可以取走一些使得剩下的是 \(m+1\) 的倍数，然后变成后手面对必败局面。
Wythoff Game
- 问题模型：有两堆物品，每堆分别有 \(a\) 和 \(b\) 个。两个人轮流取，每次可以从一堆中取任意个（至少 \(1\) 个），或者从两堆中同时取相同个数的物品（至少 \(1\) 个）。最后取光者胜。
- 结论：我们记局势为 \((a,b)\)（假设 \(a\le b\)）。如果满足 \(a=\lfloor(b-a)\times\frac{sqrt(5)+1}{2}\rfloor\) 则先手必败，否则先手必胜。
- 解释：这个结论涉及黄金分割比。必败局势按照第一个坐标排序，第二个坐标是第一个坐标加上序号乘以黄金分割比。这些必败局势有规律地分布。
Nimm Game
- 问题模型：有 \(n\) 堆物品，每堆分别有 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 个。两个人轮流从某一堆中取任意个物品（至少 \(1\) 个）。最后取光者胜。
- 结论：如果 \(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n=0\)，则先手必败，否则先手必胜。
- 解释：异或和为 \(0\) 的状态为必败状态。因为如果当前异或和不为 \(0\)，先手总可以取走一些物品使得异或和变为 \(0\)；而如果当前异或和为 \(0\)，那么无论怎么取，都会使得异或和不为 \(0\)。这样，后手总是面临非 \(0\) 状态，先手总是面临 \(0\) 状态，直到最后先手取光。