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《电路基础》第八章学习笔记

《电路基础》第八章学习笔记

本章学习二阶电路,典型是RLC电路。电路中包含三种无源元件(两种储能元件)。可以用二阶微分方程表征其特性。

  1. 初值与终值的确定

    • 关键点:

      • 分析电路时,必须始终仔细地处理电容器两端电压v(t)的极性以及流过电感器电流i(t) 的方向,v与i必须严格按照无源符号规约予以定义。

      • 电容两端的电压总是连续的

        \[v(0^+)=v(0^-) \]

      • 流过电感电流总是连续的

        \[i(0^+)=i(0^-) \]

      • 电容和电感是破局关键。分析的时候从这两个下手更简明。

  2. 无源激励RLC串联电路

    • image

      对上图运用KVL,得到:

      \[Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t } +\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i\mathrm{d}t =0 \]

      对这个式子中的 t 求导

      \[\frac{\mathrm{d^2}i }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}i }{\mathrm{d}t }+\frac{i}{LC}=0 \]

      这是一个二阶微分方程

      初值带入后化简运算,进一步得到:

      \[s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0 \]

      这是一个一元二次方程,我们可以通过求根公式求出解的答案。

    • 两个根的更简洁的表达式可以写成:

      \[s_{1}=-\alpha +\sqrt{\alpha ^2-\omega _{0}^2} ,s_{2}=-\alpha -\sqrt{\alpha ^2-\omega _{0}^2} \]

      其中,

      \[\alpha =\frac{R}{2L},\omega _{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \]

      • 特征根 \(s_{1}\)\(s_{2}\) 与电路的自然相应有关,称为自然频率

      • \(\omega_{0}\) 称为振荡频率/无阻尼自然频率

      • \(\alpha\) 称为奈培频率/阻尼因子

      • 上面的一元二次方程可以简写为:

        \[s^2+2\alpha s+\omega _{0}^2=0 \]

        这样就简单舒服多了!

    • 解的三种情况:

      • 过阻尼(\(\alpha>\omega_{0}\)

        \[i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t} \]

      • 临界阻尼(\(\alpha=\omega_{0}\)

        \[i(t)=(A_{2}+A_{1}t)e^{-\alpha t} \]

      • 欠阻尼(\(\alpha<\omega_{0}\)

        \[i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}cos\omega_{d}t+B_{2}sin\omega_{d} t) \]

        image

    • RLC网络的性质:

      • 特征:阻尼衰减
      • 由于两类储能元件的存在,振荡响应成为可能(LC振荡电路)
      • 不同情况下响应的波形是不同的。
  3. 无源激励RLC并联电路

    • image

      对上图顶点KCL之后化简可得:

      \[s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}=0 \]

      剩下的同上面串联电路进行分析,就不过多展开了。

  4. RLC串联电路的阶跃响应

    • image

      对这个电路使用KVL,化简之后得到:

      \[\frac{\mathrm{d^2}v }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t }+\frac{v}{LC}=\frac{V_{s}}{LC} \]

    • 上式的解包含:瞬态响应与稳态响应

      \[v(t)= v_{1}(t)+v_{ss}(t) \]

      所以过阻尼,欠阻尼,临界阻尼的全解:在 \(A_{1},A_{2}\) 的表达式中加入 \(V_{s}\)

  5. RLC并联电路的阶跃响应

    • image

      对顶部节点使用KCL得到:

      \[\frac{\mathrm{d^2}i }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{1}{RL}\frac{\mathrm{d}i }{\mathrm{d}t }+\frac{i}{LC}=\frac{I_{s}}{LC} \]

      上式的解包含:瞬态响应与稳态响应

      \[x(t)= x_{1}(t)+x_{ss}(t) \]

      所以过阻尼,欠阻尼,临界阻尼的全解:在 \(A_{1},A_{2}\) 的表达式中加入 \(I_{s}\)

  6. 一般二阶电路

    • 分析方法:(重要)😄

      • 确定电路的初始条件以及终值

      • 关闭独立源,用KCL和KVL求解瞬态响应 \(x_{1}(t)\) 。得到二阶微分方程就可以求出特征根。

      • 电路的稳态响应为:

        \[x_{ss}(t)=x(\infty) \]

      • 电路的全响应即瞬态响应与稳态响应之和。

  7. 对偶原理(互换关系)

    • 内容:

      对偶原理指出了电路的特征方程与电路原理之间存在的对偶关系

      image

      如果两个电路能够用对偶量可相互交换的相同的特征方程来描述,则称这两个电路时互为对偶的。

    • 有效性:

      只要求出一个电路的解,就可以自动推出其对偶电路的解。

    • 如何得到一个电路的对偶电路:

      1. 在给定电路的各网孔中心设置一个节点,在该给定电路之外设置对偶电路的参考节点(GND)
      2. 在节点之间画线,使每条线通过一个元件,并将该元件用其对偶元件取代。
      3. 对于引起正的(顺时针方向)网孔电流的电压源而言,其对偶电流源的参考方向为地节点流向非参考节点。

呼,终于结束了,再记电路笔记要患上腱鞘炎了。

typora记笔记真的磨人,但是阅读的时候感觉特别清晰+美观。

latex还是敲太慢了。

笔记任务完成了,多做习题巩固,常看常新。

这本书写的真好。如果有纸质版就更好了,可惜买不到。

2025.10.3

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=23611

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