这是个停时问题，考虑鞅的停时定理。
首先设计状态，直接设每个位置是否有球毫无意义，复杂且难以刻画，在写下式子时还需要关心哪些位置是否有球。我们尝试只保留留在圈内的球，我们发现我们并不关心具体位置，我们可以只关心第 \(i\) 个球和 \(i-1\) 个球的相对距离，这样是充分的。
我们定义势能函数 \(F(S)=\sum_{i=1}^t f(b_i)\)，我们希望 \(\sum_{i=1}^tf(b_i+1)+f(b_{i+1}-1)-f(b_i)-f(b_{i+1})=-n\)。
整理一下式子，变成 \(\sum_{i=1}^t f(b_{i}+1)+f(b_{i}-1)-2f(b_i)=-n\)，见到这种式子我们可以想到差分，但是我没有想到，所以我考虑直接做。
我们寻找元之间的定量恒等关系，发现不论如何，\(\sum_{i=1}^tb_i=m\)，如果我们能让每个 \(i\) 贡献 \(-b_i\times\frac {n}m\)，这样我们就可以使得式子恒等。
于是我们试着构造满足 \(f(x+1)+f(x-1)-2f(x)=-\frac n m\) 的递推式，发现转移递推式为 \(f(x+1)=2f(x)-f(x-1)-\frac n m\)，直接矩阵乘法加速即可。
发现 T 了，不过转移矩阵都是一样的，我们直接预处理每个二的整次幂的矩阵即可通过。