在生产者理论中，我们主要通过生产函数描述技术。本章主要围绕生产函数的设定展开。
1. 对技术的说明
这里给出几组概念：
其中，\(y_{j}^{o}\)表示第\(j\)种产品的产出，\(y_{j}^{i}\)表示第\(j\)种产品的投入；
- 净产出：$$y_{j}=y_{j}^{o} - y_{j}^{i}$$
- 生产计划：$$\mathbf y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$$
- 生产可能集：$$Y = {\mathbf y\in \mathbb{R}^{n}:\mathbf y \text{在技术上是可行的}}$$
- 受约束的生产可能集：$$Y(\overline{y_{i}}) = {\mathbf{y}\in Y:y_{i}=\overline{y_{i}}}$$
- 投入要求集：$$V(\mathbf{y})={\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}_{+}:(y,-\mathbf{x})\in Y}$$
- 等产量线：$$Q(\mathbf{y})={\mathbf{x}\in V(\mathbf{y}):\forall y^{\prime}>y,\mathbf{x}\notin V(y^{\prime})}$$
- 生产函数：$$f(\mathbf{x})={y\in\mathbb{R}:y\text{是在}Y\text{中与}-\mathbf{x}\text{对应的最大产出}}$$
2. 技术的假设
- 单调技术
单调性：若\(\mathbf{x}\in V(y)\)，且\(\mathbf{x}^{\prime}\geq \mathbf{x}\)，则\(\mathbf{x}^{\prime}\in V(y)\)
单调性假设要求厂商在生产时能够自由取舍，即厂商能够零成本处理多余的生产要素，不存在产能过剩的问题。
- 凸技术
凸性：若\(\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime} \in V(y)\)，则\(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{x}^{\prime}\in V(y)\)，其中\(0\leq t\leq 1\)
凸性要求生产技术可以复制。厂商能够复制小型的生产规模，并在不同方案之间进行组合，从而实现较大的生产规模。
- 正则技术
正则性：\(\forall y\geq 0, V(y)\)是非空且闭的
正则性保证了投入要求集是一个紧集，即投入要求集中的任何一个收敛序列在投入要求集中存在极限点。
3. 技术替代率(Technical Rate of Substitution, TRS)
技术替代率指的是在给定的产量水平下，增加一单位某要素的投入量，对应需要减少另一要素投入的数量。在二维情况下，技术替代率即等产量线的斜率。
在给定产出水平的情况下，等产量线可表示为$$y\equiv f(x_{1},x_{2})$$
根据隐函数定理可知：$$TRS\triangleq \frac{dx_{2}}{dx_{1}}=-\frac{\partial f/\partial x_{1}}{\partial f/\partial x_{2}}$$
4. 替代弹性
技术替代率衡量等产量线的斜率，替代弹性衡量等产量线的曲率。具体而言，替代弹性衡量在产量水平恒定的情况下，技术替代弹性的相对变动对要素投入比率相对变动的影响。替代弹性可表示为$$\sigma = \frac{d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}/\frac{d\text{TRS}}{\text{TRS}}$$
对数形式可表示为$$\sigma = \frac{d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\text{TRS}}$$
5. 规模报酬
规模报酬不变需要满足如下条件：
- \(\forall t\geq 0\)，若\(y\in Y\)，则\(ty\in Y\)
- \(\forall t\geq 0\)，若\(\mathbf{x}\in V(y)\)，则\(t\mathbf{x}\in V(ty)\)
- \(f(t\mathbf{x})=tf(\mathbf{x})\)，即生产函数\(f(x)\)是一次齐次的
规模报酬递增：\(\forall t>1, f(t\mathbf{x})>tf(\mathbf{x})\)
规模报酬递减：\(\forall t>1, f(t\mathbf{x})<tf(\mathbf{x})\)
规模弹性衡量的是所有投入品的相对变动对产出相对变动的影响。令函数\(y(t)=f(t\mathbf{x})\)，则规模弹性可表示为$$e(\mathbf{x}) = \frac{dy(t)/y(t)}{dt/t}$$
6. 齐次函数和位似函数
齐次函数：函数\(f(\mathbf{x})\)是\(k\)次齐次函数，若\(\forall t>0, f(t\mathbf{x})=t^{k}f(\mathbf{x})\)
位似函数：一次齐次函数的单调递增变换。即$$f(\mathbf{x})=g(h(\mathbf{x}))\quad\text{其中，}g(\cdot)\text{是一个单调增函数，}h(\cdot)\text{是一个一次齐次函数}$$
位似函数的性质
\(f(\mathbf{x})\)是一个位似函数，
- 若\(f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}^{\prime})\)，则\(f(t\mathbf{x})=f(t\mathbf{x}^{\prime})\)
- 位似函数的技术替代率与规模\(t\)无关
7. CES生产函数
不变替代弹性(constant elasticity of substitution, CES)生产函数表达式为$$y = (a_{1} x_{1}^{\rho} + a_{2} x_{2}^{\rho} )^{1/\rho}$$
CES生产函数的性质
- 技术替代率$$TRS = -\frac{a_{1}}{a_{2}}\Big(\frac{x_{1}}{x_{2}}\Big)^{1-\rho}$$
- 替代弹性$$\sigma = \frac{d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\text{TRS}}=\frac{1}{1-\rho}$$
- 规模弹性$$e(\mathbf{x})=1$$