Description
给定一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(a_{1\sim n}\)。
接下来有 \(q\) 次询问，每次询问给出非负整数 \(L,R\)，求
\[\max_{x=L}^R\left(\sum_{i=1}^n\mathrm{popcount}(a_i+x)\right)
\]
其中 \(\mathrm{popcount}(x)\) 表示 \(x\) 在二进制形式下数位 \(1\) 的出现次数。
\(1\le n,q\le 5\times 10^5\)，\(0\le L\le R\le 10^{11}\)，\(0\le a_i\le 10^{11}\)。
Solution
首先这题显然是把每位的贡献分开算。第 \(b\) 位有贡献当且仅当 \(2^b\leq (x+v)\bmod 2^{b+1}<2^{b+1}\)，即 \(x\bmod 2^{b+1}\) 在 \([2^b-v,2^{b+1}-1-v]\) 内。
直接显然是无法维护的，所以考虑按照位数从低位到高位考虑。
这里用线段树的结构去维护这个东西。假设 \([0,b-1]\) 位的线段树已经确定好了，根是 \(rt\)。
设新的根是 \(rt'\)。由于 \(rt'\) 的左右子树在前 \(b-1\) 位的贡献是完全一样的，所以我们可以先把 \(rt'\) 的左右儿子都设成 \(rt\)。修改一个区间 \([l,r]\) 的过程也是类似线段树，每次把访问到的位置新开一个点即可。
时空复杂度都是 \(O(n\log^2V)\)。
考虑优化。
注意到我们维护的东西不一定需要是线段树，只要是有层数且存在递归关系的图就行。
经过观察可以发现如果把第 \(b\) 层 \(n\) 个区间的断点拿出来，将值域划分成 \(2n\) 个线段，如果 \(x\) 和 \(y\) 在第 \(b\) 位在同一个线段则说明在 \(>b\) 位也仍然在同一个线段。
证明就考虑一个修改区间 \([l,r)\) 在 \(b\) 位贡献的断点是 \(l\) 和 \(r\)，在 \(b+1\) 位的贡献则为 \(l,r,l+2^b,r+2^b\)，显然构成包含关系。
所以我们对于一层把这些线段拿出来再建树，排序用基数排序。询问时由于递归的过程中每一次只会有至多 \(2\) 个散区间，线性预处理 rmq+暴力递归即可。这个做法时间复杂度是 \(O((n+q)\log V)\)。
不过这么做需要做线性 rmq，且询问过程也很繁琐。我们初始时把询问的 \(l\) 和 \(r+1\) 的后 \(b+1\) 位加到第 \(b\) 位的修改中就只需要在最高位求一遍区间最大值即可。
可能要卡常。
时间复杂度：\(O((n+q)\log V)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>// #define int int64_tusing i64 = int64_t;
using pis = std::pair<int, short>;
using pis1 = std::pair<i64, short>;namespace FASTIO {
char ibuf[1 << 21], *p1 = ibuf, *p2 = ibuf;
inline char getc() {return p1 == p2 && (p2 = (p1 = ibuf) + fread(ibuf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
}
template<class T> bool read(T &x) {x = 0; int f = 0; char ch = getc();while (ch < '0' || ch > '9') f |= ch == '-', ch = getc();while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x * 10) + (ch ^ 48), ch = getc();x = (f ? -x : x); return 1;
}
template<typename A, typename ...B> bool read(A &x, B &...y) { return read(x) && read(y...); }char obuf[1 << 21], *o1 = obuf, *o2 = obuf + (1 << 21) - 1;
void flush() { fwrite(obuf, 1, o1 - obuf, stdout), o1 = obuf; }
inline void putc(char x) { *o1++ = x; if (o1 == o2) flush(); }
template<class T> void write(T x) {if (!x) putc('0');if (x < 0) x = -x, putc('-');char c[40]; int tot = 0;while (x) c[++tot] = x % 10, x /= 10;for (int i = tot; i; --i) putc(c[i] + '0');
}
void write(char x) { putc(x); }
void write(char *x) { while (*x) putc(*x++); }
void write(const char *x) { while (*x) putc(*x++); }
template<typename A, typename ...B> void write(A x, B ...y) { write(x), write(y...); }
struct Flusher {~Flusher() { flush(); }
} flusher;
} // namespace FASTIO
using FASTIO::read; using FASTIO::putc; using FASTIO::write;const int kMaxN = 1e6 + 5, kMaxT = 4e7 + 5;int n, q, lim, tree_cnt;
int mx[kMaxT], tg[40];
i64 a[kMaxN], l[kMaxN], r[kMaxN];
int sz[40];
pis upd[40][kMaxN * 2];
std::vector<int> pos[40];
std::vector<std::pair<int, int>> id[40];
// std::vector<pis> upd[40];inline void chkmax(int &x, int y) { x = (x > y ? x : y); }
inline void chkmin(int &x, int y) { x = (x < y ? x : y); }struct SGT {int mx[kMaxN * 16];void pushup(int x) { mx[x] = std::max(mx[x << 1], mx[x << 1 | 1]); }void build(int x, int l, int r) {if (l == r) return void(mx[x] = ::mx[id[lim][l].second]);int mid = (l + r) >> 1;build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);pushup(x);}int query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {if (l > qr || r < ql) return 0;else if (l >= ql && r <= qr) return mx[x];int mid = (l + r) >> 1;return std::max(query(x << 1, l, mid, ql, qr), query(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr));}
} sgt;namespace Sub1 {
void solve() {lim = 31;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int b = 0; b <= lim - 1; ++b) {i64 len = (1ll << (b + 1)), m = len / 2;i64 l = (m - (a[i] & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (a[i] & (len - 1)) + len) % len;// upd[b + 1].emplace_back(l, 1), upd[b + 1].emplace_back(r, -1);upd[b + 1][sz[b + 1]++] = {l, 1}, upd[b + 1][sz[b + 1]++] = {r, -1};if (l > r) ++tg[b + 1];}}for (int i = 1; i <= q; ++i) {for (int b = 1; b <= lim; ++b) {// upd[b].emplace_back(l[i] & ((1ll << b) - 1), 0);// upd[b].emplace_back((r[i] + 1) & ((1ll << b) - 1), 0);upd[b][sz[b]++] = {l[i] & ((1ll << b) - 1), 0};upd[b][sz[b]++] = {(r[i] + 1) & ((1ll << b) - 1), 0};}}id[0] = {{0, 0}};int sum = 0;for (int b = 1; b <= 31; ++b) {static int tag[kMaxN * 2];// upd[b].emplace_back(0, 0);upd[b][sz[b]++] = {0, 0};// for (auto p : upd[b]) std::cerr << p.first << ' ';// std::cerr << '\n';std::function<void()> radixsort = [&] () {static pis pr[kMaxN * 2];static std::vector<pis> vec[65536];static int cnt[65536];int bl = (1 << ((b + 1) / 2)), bl2 = (1ll << b) / bl;// if (bl > 4) bl /= 4, bl2 *= 4;for (int i = 0; i < bl2; ++i) cnt[i] = 0;for (int i = 0; i < sz[b]; ++i) {auto [x, v] = upd[b][i];++cnt[x / bl], vec[x % bl].emplace_back(x, v);}for (int i = 1; i < bl2; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];int t = cnt[bl2 - 1];for (int i = bl - 1; ~i; --i) {for (; vec[i].size(); vec[i].pop_back()) {auto [x, v] = vec[i].back();pr[cnt[x / bl]--] = {x, v};}}for (int i = 1; i <= t; ++i) {auto [x, v] = pr[i];if (!pos[b].size() || x != pos[b].back()) pos[b].emplace_back(x);tag[pos[b].size() - 1] += v;}};radixsort();// for (auto x : pos[b]) std::cout << x << ' ';// std::cout << '\n';tag[0] += tg[b];// for (int i = 0; i < pos[b].size(); ++i) std::cerr << tag[i] << ' ';// std::cerr << '\n';std::vector<std::pair<int, int>> tmp;for (auto [p, id] : id[b - 1]) tmp.emplace_back(p, id);for (auto [p, id] : id[b - 1]) tmp.emplace_back(p + (1 << (b - 1)), id);//for (int i = 0, j = 0; i < pos[b].size(); ++i) {assert(tmp[j].first == pos[b][i]);if (i) tag[i] += tag[i - 1];int nz = ++tree_cnt;i64 nxt = (i == pos[b].size() - 1 ? (1ll << b) : pos[b][i + 1]);for (; j < tmp.size() && tmp[j].first < nxt; ++j) chkmax(mx[nz], mx[tmp[j].second] + tag[i]);id[b].emplace_back(pos[b][i], nz);}std::fill_n(tag, pos[b].size(), 0);}sgt.build(1, 0, id[31].size() - 1);for (int i = 1; i <= q; ++i) {int itl = std::lower_bound(pos[31].begin(), pos[31].end(), l[i]) - pos[31].begin();int itr = std::lower_bound(pos[31].begin(), pos[31].end(), r[i] + 1) - pos[31].begin();// int ans = 0;// for (int j = itl; j < itr; ++j) chkmax(ans, mx[id[31][j].second]);// std::cout << ans << '\n';write(sgt.query(1, 0, id[31].size() - 1, itl, itr - 1), '\n');}
}
} // namespace Sub1namespace Sub2 {
std::vector<i64> pos[40];
std::vector<std::pair<i64, int>> id[40];struct SGT {int mx[kMaxN * 16];void pushup(int x) { mx[x] = std::max(mx[x << 1], mx[x << 1 | 1]); }void build(int x, int l, int r) {if (l == r) return void(mx[x] = ::mx[id[lim][l].second]);int mid = (l + r) >> 1;build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);pushup(x);}int query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {if (l > qr || r < ql) return 0;else if (l >= ql && r <= qr) return mx[x];int mid = (l + r) >> 1;return std::max(query(x << 1, l, mid, ql, qr), query(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr));}
} sgt;void solve() {std::vector<i64> upd1, upd2;for (int i = 1; i <= n; ++i) {upd1.emplace_back(a[i]);for (int b = 0; b <= lim - 1; ++b) {i64 len = (1ll << (b + 1)), m = len / 2;i64 l = (m - (a[i] & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (a[i] & (len - 1)) + len) % len;if (l > r) ++tg[b + 1];}}upd2.emplace_back(0);for (int i = 1; i <= q; ++i) {upd2.emplace_back(l[i]), upd2.emplace_back(r[i] + 1);}id[0] = {{0, 0}};int sum = 0;for (int b = 1; b <= lim; ++b) {static int tag[kMaxN * 2];std::vector<pis1> vec1, vec2;i64 len = (1ll << b), m = len / 2;for (auto x : upd1) {if ((x & (m - 1)) == 0) {i64 l = (m - (x & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (x & (len - 1)) + len) % len;if (~l >> (b - 1) & 1) vec1.emplace_back(l, 1);else vec1.emplace_back(r, -1);}}for (int i = (int)upd1.size() - 1; ~i; --i) {i64 x = upd1[i];if ((x & (m - 1)) == 0) continue;i64 l = (m - (x & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (x & (len - 1)) + len) % len;if (~l >> (b - 1) & 1) vec1.emplace_back(l, 1);else vec1.emplace_back(r, -1);}for (auto x : upd1) {if ((x & (m - 1)) == 0) {i64 l = (m - (x & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (x & (len - 1)) + len) % len;if (l >> (b - 1) & 1) vec1.emplace_back(l, 1);else vec1.emplace_back(r, -1);}}for (int i = (int)upd1.size() - 1; ~i; --i) {i64 x = upd1[i];if ((x & (m - 1)) == 0) continue;i64 l = (m - (x & (len - 1)) + len) % len, r = (len - (x & (len - 1)) + len) % len;if (l >> (b - 1) & 1) vec1.emplace_back(l, 1);else vec1.emplace_back(r, -1);}std::vector<i64> now1, now2;for (auto x : upd1) {if (~x >> (b - 1) & 1) now1.emplace_back(x);}for (auto x : upd1) {if (x >> (b - 1) & 1) now1.emplace_back(x);}for (auto x : upd2) {if (~x >> (b - 1) & 1) now2.emplace_back(x), vec2.emplace_back(x % len, 0);}for (auto x : upd2) {if (x >> (b - 1) & 1) now2.emplace_back(x), vec2.emplace_back(x % len, 0);}upd1.swap(now1), upd2.swap(now2);for (int i = 0, j = 0; i < vec1.size() || j < vec2.size();) {i64 x; int v;if (j == vec2.size() || i < vec1.size() && vec1[i].first < vec2[j].first) std::tie(x, v) = vec1[i++];else std::tie(x, v) = vec2[j++];if (!pos[b].size() || x != pos[b].back()) pos[b].emplace_back(x);assert(x == pos[b].back());tag[pos[b].size() - 1] += v;}tag[0] += tg[b];std::vector<std::pair<i64, int>> tmp;for (auto [p, id] : id[b - 1]) tmp.emplace_back(p, id);for (auto [p, id] : id[b - 1]) tmp.emplace_back(p + (1ll << (b - 1)), id);//for (int i = 0, j = 0; i < pos[b].size(); ++i) {assert(tmp[j].first == pos[b][i]);if (i) tag[i] += tag[i - 1];int nz = ++tree_cnt;i64 nxt = (i == pos[b].size() - 1 ? (1ll << b) : pos[b][i + 1]);for (; j < tmp.size() && tmp[j].first < nxt; ++j) chkmax(mx[nz], mx[tmp[j].second] + tag[i]);id[b].emplace_back(pos[b][i], nz);}std::fill_n(tag, pos[b].size(), 0);}sgt.build(1, 0, id[lim].size() - 1);for (int i = 1; i <= q; ++i) {int itl = std::lower_bound(pos[lim].begin(), pos[lim].end(), l[i]) - pos[lim].begin();int itr = std::lower_bound(pos[lim].begin(), pos[lim].end(), r[i] + 1) - pos[lim].begin();int ans = 0;for (int j = itl; j < itr; ++j) chkmax(ans, mx[id[lim][j].second]);write(sgt.query(1, 0, id[lim].size() - 1, itl, itr - 1), '\n');}
}
} // namespace Sub2void dickdreamer() {read(n, q); lim = 31;i64 mx = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), mx = std::max(mx, a[i]);for (int i = 1; i <= q; ++i) read(l[i], r[i]), mx = std::max({mx, l[i], r[i]});if (mx > 1e9) lim = 38;if (mx <= 1e9) Sub1::solve();else Sub2::solve();
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint T = 1;// std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}