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Jordan块新解

非常好的问题,这几个概念确实是 相似理论 的核心。让我系统地给你梳理它们之间的关系。


1. 特征多项式 (Characteristic Polynomial)

定义:

\[p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A). \]

性质:

  • \(p_A(\lambda)\) 的根就是矩阵的 特征值,重数是 代数重数
  • 相似矩阵有相同的特征多项式。
  • 维度为 \(n\) 的矩阵,其特征多项式是一个 首一多项式 (monic polynomial),次数为 \(n\)

2. 极小多项式 (Minimal Polynomial)

定义:
矩阵 \(A\) 的极小多项式 \(m_A(x)\) 是满足 \(m_A(A)=0\) 的首一多项式中 次数最小 的那个。

性质:

  • 极小多项式一定整除特征多项式:

    \[m_A(x) \mid p_A(x). \]

  • 极小多项式能告诉我们 Jordan 块的大小。例如,如果某个特征值 \(\lambda\) 的 Jordan 块最大尺寸是 \(k\),那么 \((x-\lambda)^k\)\(m_A(x)\) 的因子。

  • 相似矩阵有相同的极小多项式。


3. Jordan 标准型 (Jordan Canonical Form)

定义:
对任意复数域上的方阵 \(A\),存在一个可逆矩阵 \(P\),使得

\[P^{-1} A P = J, \]

其中 \(J\) 是块对角矩阵,每个块是一个 Jordan 块:

\[J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}. \]

性质:

  • Jordan 标准型由 特征多项式和极小多项式共同决定
  • 特征多项式告诉我们有哪些特征值以及它们的代数重数;
  • 极小多项式告诉我们 Jordan 块的最大尺寸;
  • 这两者结合起来唯一确定 Jordan 结构。

4. 首一多项式 (Monic Polynomial)

  • 特征多项式、极小多项式都属于首一多项式。
  • 在线性代数中,首一多项式的概念主要用来确保极小多项式的唯一性。

5. 相似不变量 (Similarity Invariants)

相似变换保持的一切不变量包括:

  • 谱 (spectrum):特征值集合。
  • 特征多项式
  • 极小多项式
  • Jordan 标准型(在复数域上唯一确定)。
  • 秩、迹、行列式等。

这些构成了相似分类的核心。换句话说:

\[A \sim B \iff A, B \text{ 具有相同的 Jordan 标准型 } \iff \text{它们的特征多项式和极小多项式一致}. \]


🔑 总结逻辑图

\[\begin{array}{c} \text{特征多项式 } p_A(x) \;\;\Rightarrow\;\; \text{特征值及代数重数} \\ \Downarrow \\ \text{极小多项式 } m_A(x) \;\;\Rightarrow\;\; \text{最大 Jordan 块的大小} \\ \Downarrow \\ \text{Jordan 标准型} \;\;\Rightarrow\;\; \text{相似分类完全刻画} \\ \end{array} \]


这是一个非常重要的问题:特征多项式、极小多项式、Jordan 标准型、相似不变量既有代数上的定义,也有几何上的直观含义。下面我分两部分来回答。


1. 代数角度

  • 特征多项式

    \[p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A). \]

    纯粹代数对象:它的根是特征值,告诉我们矩阵的谱结构。代数重数 (algebraic multiplicity) 就是每个根的次数。

  • 极小多项式
    极小多项式是代数上「矩阵满足的最小次数首一多项式」,即

    \[m_A(A)=0,\quad \deg(m_A)\;\;\text{尽可能小}. \]

    它反映矩阵的「最小代数关系」。代数上它决定 Jordan 块的最大大小。

  • Jordan 标准型
    在代数上,它是相似分类的最终结果:每个矩阵与一个唯一的 Jordan 形式相似。Jordan 块本质上是在代数上编码了「不能被对角化」的部分。

  • 相似不变量
    代数上,它们是由相似变换保持的量:行列式、迹、特征值、特征/极小多项式、Jordan 型。


2. 几何角度

  • 特征值与特征向量
    几何上,特征值表示矩阵作为线性变换时,在某些方向上只做「伸缩」而不旋转。例如

    \[A v = \lambda v \]

    表示向量 \(v\) 在变换下保持方向不变,只被放大/缩小。

  • 代数重数 vs 几何重数

    • 代数重数 (algebraic multiplicity):特征值作为多项式根出现的次数。
    • 几何重数 (geometric multiplicity):对应特征向量空间的维数。
      如果二者相等,就可以完全用一组特征向量作为基,从而对角化。
      如果不相等,就需要广义特征向量,出现 Jordan 块。
  • 极小多项式
    几何上,它反映「一个方向上需要多少次作用才能完全消掉非对角化的部分」。比如 Jordan 块大小 \(k\),意味着在该特征子空间里,\(A-\lambda I\) 需要作用 \(k\) 次才会让向量归零。

  • Jordan 标准型
    几何上,它把空间分成几个不变子空间:

    • 每个 Jordan 块对应一个「链」:

      \[v,\; (A-\lambda I)v,\; (A-\lambda I)^2 v,\;\dots \]

      这种链说明 \(A\) 在该方向不仅伸缩,还把基向量推到链的下一个位置。

    • 如果矩阵可对角化,就没有链,只剩下纯粹的伸缩方向。

    • 如果有 Jordan 块,几何上表现为「缺少足够的独立方向」,矩阵在子空间里还带有「剪切」作用。

  • 相似不变量
    几何上,相似变换就是换基,所以不变量就是线性变换本身的本质属性,而不是基的选择结果。例如:伸缩比例(特征值)、链的长度(Jordan 块尺寸)、总体的体积缩放(行列式)、整体拉伸总和(迹)。


3. 类比总结

  • 特征多项式:告诉你「有哪些伸缩比」(特征值),但不告诉你有几个独立方向。
  • 极小多项式:告诉你「最复杂的剪切链有多长」。
  • Jordan 标准型:完整描述:哪些方向纯伸缩,哪些方向有剪切链。
  • 相似不变量:几何上就是「线性变换的本质动作」:伸缩、旋转、剪切,而不是具体坐标表示。

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=15034

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