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回忆中学的函数

news 2025/9/30 15:40:42

这篇文章，带你一次性回顾中学时代里的那些函数。如果对初中、高中的函数还记忆模糊，建议往下翻一翻。

一、函数的意义
- 要素
- 特征
二、初阶函数
- 1. 一次函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 2. 反比例函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 3. 二次函数
  - 函数特征
  - 应用示例
三、高阶函数
- 4. 指数函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 5. 对数函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 6. 幂函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 7. 绝对函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 8. Sigmoid函数
  - 函数特征
  - 应用示例
- 9. 三角函数
  - 函数特征
  - 应用示例
小结

一、函数的意义

如果说，学数学的核心就在于学习函数，应该没有人会不同意吧。

数学应用的目的是求解现实中的各种问题，其中，为了模拟这种 "已知 xxx，那么xxx" 论述的过程，函数是最重要的形式。通俗点说，函数就像一个“机器”：你输入一个值，它按照规则处理后输出一个结果

函数的定义通常记为：

\[y = f(x) \]

其中，x 叫自变量，y 是因变量，大致的意思就是 y 随着 x 的变化而变化，或者说 y 的取值和 x 离不开干系。

那么 f(x) 描述的就是这种关系本身，即通过 x 要怎样推断出 y 的值。

要素

严格说，函数包含三个要素，如下面的示例函数：

\[f(x)=2x+1 \]

要素1，定义域， x 的取值范围，如 \(x \in \mathbb{R}\)
要素2，值域，y 也就是 f(x) 的结果取值范围，如 \(y \in \mathbb{R}\)
要素3，计算法则，即 f(x) 公式本身

特征

既然函数描述了数据之间的关系，而现实场景中数据的关系会存在一些规律，这些规律通过图像特征也能够直观的看出。一些常见的规律就包括：

单调性

函数单调性描述的是函数值随着自变量的变大是变大还是变小，如单调递增或递减。

举例：我们的愿望是，👉 工资和自己工作年限的关系是单调递增，工作越久，工资越高。

奇偶性

奇偶性描述的是函数在正负方向上的对称性，例如当x为2和-2时，y=4则为偶函数，若y=4和-4则为奇函数

举例：我是一面镜子，也是一个偶函数。

对称性

函数图像是否在某个轴或点上呈现对称结构，可以认为奇偶性是特殊的对称性。

举例：蝴蝶的翅膀是左右对称的。

周期性

周期性表示函数的图像或数值每隔一段时间，会重复一次

举例：钟表的指针运动、日出日落、心跳波形等等。

二、初阶函数

1. 一次函数

一次函数的公式如下：

\[y = kx + b \]

k 是斜率（不能为 0），表示函数的变化速度；
b 是常数，表示图像在 y 轴上的截距。

当 b = 0 时，函数变为 y = kx，是一个正比例函数。

在几何上，一次函数是一条直线，如下：

函数特征

特征项	描述说明
📍 图像形状	一条直线
📈 斜率 k	决定直线的倾斜方向和陡峭程度
📍 截距 b	决定图像与 y 轴的交点位置
🔁 单调性	当 k>0，函数递增；当 k<0，函数递减
🧭 象限分布	根据 k 和 b 的符号，图像穿过不同象限

应用示例

假定你是一家小商店老板，需要做整体成本计算

表达式：\(y =5x+100\)
含义：x 代表每件商品成本为 5 元，固定成本为 100 元。

2. 反比例函数

反比例函数的公式如下：

\[y = \frac{k}{x} \]

k 是常数，且 \(x≠0\)

反比例函数的图像是一条双曲线，如下：

当 k > 0 时，图像位于第一象限和第三象限；

当 k < 0 时，图像位于第二象限和第四象限。

函数特征

特征项	描述说明
📍 图像形状	双曲线，两支分别位于对角象限
🔁 单调性	在每个象限内单调递减
🚫 不连续点	在 x=0 处无定义，图像断裂
🧭 对称性	关于原点中心对称
📈 渐近线	x轴和y轴是渐近线，图像无限接近但不相交

应用示例

.工厂作业时，计算工作效率与时间的关系

表达式：\(y = \frac{10}{x}\)
含义：完成同一任务所需时间 y 与工人数 x 成反比。
举例：10人完成任务需1小时，5人则需2小时。

3. 二次函数

二次函数的公式如下：

\[y = ax^2 + bx + c \]

\(a \neq 0\)，否则退化为一次函数；
b, c 为常数。

二次函数的图像是一条抛物线，如下：

掌握二次函数需要理解判别式：

\[\Delta = { b^2 - 4ac} \]

判别式的符号与二次函数的图像特征有特定的关系，如下所示：

函数特征

特征项	描述说明
📍 图像形状	抛物线
🔁 开口方向	a > 0 向上开口，a<0 向下开口
🎯 顶点坐标	\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)
🧭 对称轴	\(x = -\frac{b}{2a}\)
📈 单调性	顶点左侧递减，右侧递增（或相反）
🚫 零点	与 x 轴交点由判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 决定

应用示例

抛体运动高度计算，物体在竖直方向上，高度随时间变化的关系。

表达式：\(y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0\)
含义： g 是重力，v0 是初始速度，h0 是初始高度。

三、高阶函数

4. 指数函数

指数函数的公式如下：

\[y = a^x \quad (a > 0, a \ne 1) \]

其中：

a 是底数，必须为正且不等于 1；
函数值 y 是底数 a 的 x 次幂。

指数函数的图像是一条光滑曲线，如下：

函数特征

条目	特征说明
📈 增减性	当 a > 1 时，函数递增；当 0<a<1 时，函数递减
📍 交点	图像恒过点 (0, 1)，因为 \(a^0 = 1\)
🚫 渐近线	x 轴是水平渐近线，图像无限接近但不相交
🧭 定义域	\((-\infty, +\infty)\)，值域为 \((0, +\infty)\)
🔁 单调性	在整个定义域内保持单调性，无极值点

应用示例

金融场景下，利用指数函数进行复利计算：

表达式：\(A = P(1 + r)^n\)
含义：本金 P 在利率 r 下经过 n 期后的总额。

5. 对数函数

对数函数可看作是指数函数的反过程，对数函数的定义如下：

\[y = \log_a x \quad (a > 0,\ a \ne 1,\ x > 0) \]

底数 a 的多少次幂等于 x，即 \(a^y = x\)
a是底数，必须为正且不等于 1
x 是正数，必须大于 0
y 是以 a 为底的 x 的对数

对数函数的图像是一条光滑曲线，和相应的指数函数沿着 y=x 直线呈对称关系，如下：

函数特征

特征项	描述说明
📍 图像形状	曲线，呈现递增或递减
📈 单调性	当 a > 1，图像递增；当 0 < a < 1，图像递减
📍 交点	恒过点 (1, 0)，因为 \(\log_a 1 = 0\)
🚫 渐近线	y 轴（即x = 0）是垂直渐近线
🧭 定义域	x > 0，值域为 (−∞,+∞)

应用示例

碳-14测年法（Carbon-14 dating）是一种非常重要的放射性同位素测定技术，可用来估算有机遗骸的年代。

当生物死亡后，它就不再吸收碳，体内的 \(^{14}C\) 开始以固定速率衰减。通过测量遗骸中剩余的 \(^{14}C\) 含量，就可以推算出死亡时间。

表达式：\(N=N_0⋅e^{−λt}\)，推出 \(t = \frac{1}{\lambda} \log_e \left( \frac{N_0}{N} \right)\)
含义： N0 是初始碳-14量值，N 是当前值，λ 衰变常数，e是自然对数。

6. 幂函数

幂函数的公式如下：

\[f(x) = a \cdot x^n \]

a 是常数（通常为系数）；
n 是幂指数，可以是正数、负数、分数甚至无理数；
当 a = 1 时，函数简化为 \(f(x) = x^n\)，这是最常见的形式。

从几何上看，幂函数的图像形状随指数 n 的不同而变化显著，如下：

函数特征

幂指数 n	图像特征说明
正整数（偶数）	图像关于 y 轴对称，开口向上，如 \(y = x^2\)
正整数（奇数）	图像关于原点对称，穿过原点，如 \(y = x^3\)
分数指数	图像在第一象限，如 \(y = \sqrt{x}\)，定义域为 \(x \geq 0\)
负整数	图像呈双曲线状，如 \(y = x^{-1}\)，在 x = 0 处无定义

应用示例

电功率公式：\(P = I^2 R\)

含义：其中 I是电流，R 是电阻。
说明：该公式基于欧姆定律和功率公式结合得出，用于适用于电阻器、电热器等纯电阻负载的计算。

7. 绝对函数

绝对函数的公式如下：

\[f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]

∣x∣表示数 x 到原点的距离；
当 \(x \geq 0\)，∣x∣=x；
当 \(x<0\)，|x| = -x。

绝对函数本质上是一个分段函数，在图像上是一条“V” 型折线，如下：

函数特征

特征项	描述说明
📍 图像形状	V 形折线，左右对称
📈 单调性	左侧递减，右侧递增；
📍 交点	顶点在原点 (0, 0)，是图像的转折点；
🚫 斜率	左侧斜率为 -1，右侧斜率为 +1；
🧭 定义域	最小值为 0，无最大值。

应用示例

在评估传感器数值的准确度时，经常会使用 MAE 方法进行误差分析

表达式：\(\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\text{测量值}_i - \text{真实值}_i|\)
含义：将多次历史数据的测量值与真实值之间的误差进行平均计算，得到评估的准确度。

8. Sigmoid函数

Sigmoid 函数（也称为 Logistic 函数）是一种收敛函数，适用于解决概率建模和二分类问题，也是机器学习和深度学习中常见的激活函数。

Sigmoid 函数的定义如下：

\[f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \]

e 是自然常数（约等于 2.718）；
输出值\(f(x) \in (0, 1)\)，即将任意实数压缩到 0 到 1 的区间。

从几何上看，Sigmoid 函数是一个值介于0和1之间的渐进式曲线，如下：

函数特征

特征项	描述说明
📈 单调性	函数在整个定义域上单调递增
🎯 对称性	图像关于原点对称 \(f(-x) = 1 - f(x)\)
📍 极限值	当 \(x \to -\infty，f(x) \to 0\)；当 \(x \to +\infty，f(x) \to 1\)
🧭 中心点	当 x = 0，f(x)=0.5，图像在此处最陡
🚫 渐近线	y 轴两侧分别有水平渐近线 y=0和 y=1

应用示例

神经网络激活函数

用于隐藏层或输出层，将神经元输出压缩到 (0,1)(0, 1) 区间；
举例：在二分类问题中，输出值可解释为属于正类的概率。

9. 三角函数

三角函数是数学中用于描述角与边之间关系的基本函数，广泛应用于几何、物理、工程、天文等领域。

三角函数的公式如下：

\[\sin x = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos x = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan x = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \]

函数	图像形状	周期	振幅	对称性
\(\sin x\)	波浪形	\(2\pi\)	1	奇函数，关于原点对称
\(\cos x\)	波浪形	\(2\pi\)	1	偶函数，关于 y 轴对称
\(\tan x\)	间断曲线	\(\pi\)	无界	奇函数，关于原点对称