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【C++】AVL树的概念及完成（万字图文超详解）

news 2025/10/7 21:20:29

【C++】AVL树的概念及完成（万字图文超详解）

本篇我们来说一下AVL树——平衡搜索二叉树。

1. AVL的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。

⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0。

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在log N ，那么增删查改的效率也可以控制在O(log N) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度（默认右减左，也可以是左减右），也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1。

AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，有的AVL树实现的时候并没有引入。

如果我现在在这棵树的基础上插入一个节点，如下。

此时平衡就会被破坏，因为这个10节点的平衡因子变成了2，这棵树就不是AVL树了。这棵树不平衡了怎么办？通过旋转，让他变平衡。

2. AVL树的实现

创建一个.h文件，起名为AVLTree.h，再创建一个源文件，起名为test.cpp。

AVL树的实现是在搜索二叉树的基础上完成的，实现详解在：【C++】二叉搜索树（搜索二叉树）

2.1 AVL树的结构

相比之前实现的搜索二叉树，AVL树的结构会多一个parent指针，以及控制平衡的平衡因子。

在AVLTree.h中实现AVL树的结构，整体框架如下。

templatestruct AVLTreeNode{	pair _kv;	AVLTreeNode* _left;  //左子树	AVLTreeNode* _right; //右子树	AVLTreeNode* _parent;//当前节点的父节点	int _bf;//平衡因子 	AVLTreeNode(const pair& kv)		:_kv(kv)		,_left(nullptr)		, _right(nullptr)		, _parent(nullptr)		, _bf(0)	{ }}; templateclass AVLTree{	typedef AVLTreeNode Node;public:	//...private:	Node* _root = nullptr;};

2.2 insert 插入

AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程如下：

插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦（不一定会影响所有祖先），所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

先把二叉搜索树中的插入逻辑拿过来，改动一下。

bool insert(const pair& kv){	if (_root == nullptr)	{		_root = new Node(kv);		return true;	} 	Node* cur = _root;	Node* parent = nullptr;	while (cur)	{		if (cur->_kv.first > kv.first)		{			parent = cur;			cur = cur->_left;		}		else if (cur->_kv.first _right;		}		else  //不允许值冗余        {			return false;        }	}	cur = new Node(kv);	if (parent->_kv.first > kv.first)	{		parent->_left = cur;	}	else	{		parent->_right = cur;	}	cur->_parent = parent;  //链接_parent		//下面是更新平衡因子的逻辑	// ...	     return true;}

可以看出插入后影响的是祖先节点的高度，以及祖先节点的平衡因子。

平衡因子更新原则：
平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度。
只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--。
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停⽌条件：
更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡 2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

bool insert(const pair& kv){	    //...    //上面是插入逻辑     //更新平衡因子	while (parent) //parent为空时证明更新到根节点了	{		if (cur == parent->_left) //链接在左边		{			parent->_bf--;		}		else  //链接在右边		{			parent->_bf++;		} 		if (parent->_bf == 0)		{			break;		}		else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)		{			cur = parent;			parent = parent->_parent;		}		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)		{			//旋转，旋转后直接退出			//...			break;		}		else		{			assert(false);		}	}	return true;}

插入的逻辑大框架就实现好了，我们前面一直提到的旋转到底是什么？接下来我们来说说旋转。

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则。
让旋转的树从不满⾜变平衡.
降低旋转树的⾼度。

旋转总共分为四种，左单旋 / 右单旋 / 左右双旋 / 右左双旋。

2.3.2 右单旋

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。

10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡，这就是右单旋。

本图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。

10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。

这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，后面会详细介绍。

旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则。
控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。

如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

上面是抽象地概括子树高度为h，现在我们来详细看看这些情况。

插入前a/b/c子树的高度h为0，a子树新增，高度h从0->1，然后更新节点5和节点10的平衡因子。

更新完后节点10的平衡因子变为-2，这棵树不平衡，左边高，要进行右旋。按照旋转的规则，把5的右边给10的左边，10变成5的右边，5成了这棵树的新根。

插入前a/b/c子树的高度h为1，a子树新增，高度h从0->1，然后更新节点1，5和10的平衡因子。

更新完后节点10的平衡因子变为-2，这棵树不平衡，左边高，要进行右旋。按照旋转的规则，将5的右边给10的左边，10变成5的右边，5成了新的根。

插入前a/b/c子树时高度h为2AVL子树，情况就特别多了，下面3种就是高度为2的子树，a/b/c可以是以下x/y/z的任意一种。

如果我们插入后想要引发10节点不平衡，a这棵树只能是x的样子，b/c可以随意。

此时不平衡了，要进行旋转，还是和前面一样的。

a/b/c的高度h为2的情况计算的话有 3*3*4 = 36 种。h更高情况会更多，这里就不细说了，反正都是一样的。

我们来代码实现一下这个右旋。（图中黄色的往回指的箭头代表连接的相应父节点）

首先把这个parent的左子树记为subL，把这个subL的右子树记为subLR。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right; }

先让这个b变成10的左边。但是subLR的parent还是指向5的，我们还要改变b的_parent。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right; 	parent->_left = subLR; //改变指向	subLR->_parent = parent;//更新b的_parent}

然后让10变成5的右边。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right; 	parent->_left = subLR;	subLR->_parent = parent; 	subL->_right = parent;  //改变指向	parent->_parent = subL;//更新10的_parent}

5的_parent需要分情况讨论：

旋转后5为整棵树的根节点时，直接让他的_parent置空。

如果旋转后节点5不是整棵树的根，证明节点10有_parent连接着，更新后这个parent的_parent要链接节点5，节点5的_parent要链接这个parent的_parent。

所以在改变parent的指向之前，我们要先把parent的_parent记录下来。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right;		parent->_left = subLR;	subLR->_parent = parent; 	Node* pParent = parent->_parent; //先记录旋转前parent的父节点 	subL->_right = parent;	parent->_parent = subL;	if (pParent == nullptr) //旋转前parent为根节点	{		_root = subL;		subL->_parent = nullptr;	}	else //旋转前parent不为根节点	{ 	}		}

节点10如果是这棵树的子树，又要分情况讨论：节点10为他的父亲的左节点，或者节点10为他的父亲的右节点。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right;		parent->_left = subLR;	subLR->_parent = parent; 	Node* pParent = parent->_parent; //先记录旋转前parent的父节点 	subL->_right = parent;	parent->_parent = subL;	if (pParent == nullptr) //旋转前parent为根节点	{		_root = subL;		subL->_parent = nullptr;	}	else //旋转前parent不为根节点	{		subL->_parent = pParent;		if (pParent->_left == parent)		{			pParent->_left = subL;		}		else		{			pParent->_right = subL;		}	}		}

还有一种情况就是这个b/c子树为空，如果为空的话是不可以对其解引用的，所以我们要加个判断。

void rotateR(Node* parent) //右旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right;		parent->_left = subLR;	if(subLR) //防止对空指针解引用		subLR->_parent = parent; 	Node* pParent = parent->_parent; //先记录旋转前parent的父节点 	subL->_right = parent;	parent->_parent = subL;	if (pParent == nullptr) //旋转前parent为根节点	{		_root = subL;		subL->_parent = nullptr;	}	else //旋转前parent不为根节点	{		subL->_parent = pParent;		if (pParent->_left == parent)		{			pParent->_left = subL;		}		else		{			pParent->_right = subL;		}	}}

旋转完成后还要更新平衡因子。只有高度变化才会影响平衡因子，子树a/b/c整体的高度并没有发生改变，所以平衡因子也不需要变，需要变得就是节点10和节点5，也就是parent和subL，更新成0就可以了。

void rotateR(Node* parent) //右旋{    //旋转逻辑	//... 	//更新平衡因子	subL->_bf = 0;	parent->_bf = 0;}

这个右旋就写好了。细节比较多，要仔细。

2.3.3 左单旋

左单旋其实和右单旋差不多，如下图，a新增子树，高度h变为h+1，更新15和10的平衡因子，更新之后10的平衡因子变为2，这棵树变得不平衡，右边高，要往左旋。

因为 10 < b⼦树的值 < 15，以10为旋转点进行左旋，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则。

上图就是旋转后的样子，和右单旋是差不多的。我们就不做详细分析，直接写代码。

首先把这个parent的右子树记为subR，把这个subR的左子树记为subRL。

void rotateL(Node* parent) //左旋{	Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left; }

先让b变成10的左树，不要忘了更新b的_parent。b可能为空树，在解引用之前要判断一下。

void rotateL(Node* parent) //左旋{	Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left; 	parent->_right = subRL;     if(subRL)	    subRL->_parent = parent;}

然后让10变成15的右子树，在更新parent的指向之前要先记录parent的_parent。

void rotateL(Node* parent) //左旋{	Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left; 	parent->_right = subRL; 	if(subRL)		subRL->_parent = parent; 	Node* pParent = parent->_parent; //记录parent的_parent	subR->_left = parent;	parent->_parent = subR; }

然后要新的根节点与前面的树连接起来，这里分情况讨论，如果parent就是整棵树的根，直接置空_parent，如果不是整棵树的根，还要分parent是他父节点的左子树还是右子树。

void rotateL(Node* parent) //左旋{	Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left; 	parent->_right = subRL; 	if(subRL)		subRL->_parent = parent; 	Node* pParent = parent->_parent; //记录parent的_parent	subR->_left = parent;	parent->_parent = subR; 	if (pParent == nullptr)//更新前的parent是整棵树根节点	{		_root = subR;		subR->_parent = nullptr;	}	else	{		if (pParent->_left == parent)			pParent->_left = subR;		else			pParent->_right = subR; 		subR->_parent = pParent;	} 	subR->_bf = 0; //更新平衡因子	parent->_bf = 0;}

最后更新平衡因子。左单旋就写好了。

2.3.4 左右双旋

在 b子树 新增节点，导致这棵树变得不平衡，10的平衡因子变成了-2，10的左边高，如果进行右旋，5的右边给10的左边，10变成5的右边，变完后就像下面这样毫无作用。

这种情况下就不能进行简单的右旋，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决。

先以5为旋转点进行左旋，让8的左边给5的右边，5变成8的左边。

旋转好后这棵树就变成了单纯的左边高，再以10为旋转点进行右旋，把8的右边给10的左边，10变成8的右边。

这样就旋转好了，旋转部分的代码也是特别简单，复杂的是平衡因子的更新。

void rotateLR(Node* parent) //左右双旋{	rotateL(parent->_left); //先左旋	rotateR(parent); //再右旋 }

平衡因子的更新情况有很多种。上面我们是插入一个节点9在节点8的右边，如果我们插入一个6，插入在8的左边，也是会触发双旋的情况的。

先以5为旋转点进行左旋，把8的左边给5的右边，把5给8的左边。

然后以10为旋转点进行右旋，先把8的右边给10的左边，把10给8的右边。

我们对比一下插入在8的左边和右边旋转后的结果图。

从结果图可以看出，左右双旋就是把圈1给8的左边，圈2给8的右边，而如果是8的左子树，就分给圈1的右边，如果是8的右子树，就分给圈2的左边。

在这样的情况下，8的平衡因子是0，这是确定的，不确定的就是5和10的平衡因子。

我们从抽象图来分析一下。

对子树b进行展开，有3种情况。

情况一：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，

引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

从这个抽象图看，就是以5为旋转点先进行左单旋，再以10为旋转点进行右单旋，e变成5的右边，f变成10的左边，8成这棵树的新根。

这种情况下subLR和subL的平衡因子是0，parent是1。

情况二：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

这种情况下subLR和parent的平衡因子是0，subL是-1。

情况三：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋

转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

这种情况下subLR、subL和parent的平衡因子都是0。

来进行代码实现。

先记录一下subL和subLR，以及旋转前subLR的平衡因子。

void rotateLR(Node* parent) //左右双旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right;	int bf = subLR->_bf; 	rotateL(parent->_left); //先左旋	rotateR(parent); //再右旋 }

然后分类讨论就行了。

void rotateLR(Node* parent) //左右双旋{	Node* subL = parent->_left;	Node* subLR = subL->_right;	int bf = subLR->_bf; 	rotateL(parent->_left); //先左旋	rotateR(parent); //再右旋 	if (bf == -1)	{		subL->_bf = subLR->_bf = 0;		parent->_bf = 1;	}	else if (bf == 1)	{		subLR->_bf = parent->_bf = 0;		subL->_bf = -1;	}	else if (bf == 0)	{		subLR->_bf = parent->_bf = subL->_bf = 0;	}	else		assert(false);}

这个左右双旋就实现好了。

2.3.5 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析。

另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。

b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

情况一：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

情况二：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

情况三： h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋

转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

代码实现如下。

void rotateRL(Node* parent){	Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left;	int bf = subRL->_bf; 	rotateR(parent->_right); //先右旋	rotateL(parent);  //再左旋 	if (bf == 1)	{		subR->_bf = subRL->_bf = 0;		parent->_bf = -1;	}	else if (bf == -1)	{		subRL->_bf = parent->_bf = 0;		subR->_bf = 1;	}	else if (bf == 0)	{		subRL->_bf = parent->_bf = subR->_bf = 0;	}	else		assert(false);}

2.3.6 完善insert的代码

旋转的代码写完后，就可以把插入的逻辑完善起来了。

bool insert(const pair& kv){	//...    //上面是插入逻辑		//更新平衡因子	while (parent) //parent为空时证明更新到根节点了	{		if (cur == parent->_left) //链接在左边		{			parent->_bf--;		}		else  //链接在右边		{			parent->_bf++;		} 		if (parent->_bf == 0)		{			break;		}		else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)		{			cur = parent;			parent = parent->_parent;		}		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)		{			//旋转逻辑			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右旋				rotateR(parent);			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左旋				rotateL(parent);			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋				rotateLR(parent);			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋				rotateRL(parent);			else				assert(false);			break;		}		else		{			assert(false);		}	}	return true;}

2.4 find 查找

按照⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)。

Node* Find(const K& key){	Node* cur = _root;	while (cur)	{		if (cur->_kv.first _right;		}		else if (cur->_kv.first > key)		{			cur = cur->_left;		}		else		{			return cur;		}	}	return nullptr;}

2.5 AVL树的检测

首先我们把中序遍历写出来，这里中序的实现方式和二叉搜索树中的实现方式一样的。在AVLTree类里private实现，代码如下。

void _Inorder(const Node* root) {	if (root == nullptr)		return;	_Inorder(root->_left);	cout _kv.first  _kv.second _right);}

由于根节点_root是私有的，在类外不能访问，但是在类内可以，所以我们在AVLTree类里public实现下面这个函数。

void Inoder() //中序遍历{	_Inorder(_root);	cout << endl;}

我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。下面有一段检测代码可供检测。

在AVLTree类里private实现如下三个函数。

int _Height(Node* root){	if (root == nullptr)		return 0;	int leftHeight = _Height(root->_left);	int rightHeight = _Height(root->_right);	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

bool _IsBalanceTree(Node* root){	// 空树也是AVL树	if (nullptr == root)		return true;	// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差	int leftHeight = _Height(root->_left);	int rightHeight = _Height(root->_right);	int diff = rightHeight - leftHeight;	// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者	// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树	if (abs(diff) >= 2)	{		cout _kv.first _bf != diff)	{		cout _kv.first _left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

int _Size(Node* root){	if (root == nullptr)		return 0;    //左节点个数+右节点个数+自己（1）	return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; }

在AVLTree类里public实现如下三个函数。

int Height(){	return _Height(_root);}

bool IsBalanceTree(){	return _IsBalanceTree(_root);}

int Size(){	return _Size(_root);}

这样做的原因前面已经说过了。

2.5.1 测试样例一

在test.cpp中进行检测。这个样例有两组数据，我们先测常规的。

#include "AVLTree.h" //包含头文件void TestAVLTree1(){	AVLTree t;	// 常规的测试⽤例	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; 	// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };	for (auto e : a)	{		t.insert({ e, e });	}	t.Inoder();	cout << t.IsBalanceTree() << endl;}int main(){	TestAVLTree1();	return 0;}

这里测试结果没问题，初步说明我们的AVL树写对了，来测第二组特殊的值，进一步验证。

结果也是没问题。

2.5.2 测试样例二

这个测试样例可以检测当我们插入一大堆随机值时，AVL树的插入和查找的效率，以及数的高度。

#include "AVLTree.h"#include void TestAVLTree2(){	const int N = 100000;	vector v;	v.reserve(N);	srand(time(0));	for (size_t i = 0; i  t;	for (auto e : v)	{		t.insert(make_pair(e, e));	}	size_t end2 = clock();	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;	cout << t.IsBalanceTree() << endl;	cout << "Height:" << t.Height() << endl;	cout << "Size:" << t.Size() << endl;	size_t begin1 = clock();		for (size_t i = 0; i < N; i++)	{		t.Find((rand() + i));	}	size_t end1 = clock();	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;}int main(){	TestAVLTree2();	return 0;}