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抽象函数的定义域

例题

已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),求\(f(x+3)\)的定义域.

结论

已知\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\),求\(f(h(x))\)的定义域.

套路:

① 由\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)\(a<x<b\)

② 由\(a<x<b\)求出\(g(x)\)的范围\(c<g(x)<d\)

③ 令\(c<h(x)<d\),求出不等式的解集便是答案.

例题解答

已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),求\(f(x+3)\)的定义域.

解 由\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),得到\(1<x<2\)

所以\(1<x^2<4⇒0<x^2-1<3\)

\(0<x+3<3\),解得\(-3<x<0\),

故最后答案是\((-3,0)\).

细讲

要明白以上所讲的结论,我们要理解两点

(1)定义域的定义;

(2)\(f(g(x))\)\(f(h(x))\)\(g(x)\)\(h(x)\)的范围为什么相同(即套路中的第三步).

(1) 定义域的定义是“自变量x的取值范围”

(2) \(f(g(x))\)\(f(h(x))\)\(g(x)\)\(h(x)\)的范围为什么相同

\(f\)它指的是一种对应关系,比如\(f:\sqrt{ }\)(开平方根)

\(f(x)\)的定义域,即\(y=\sqrt{x}\)的定义域,则求\(x≥0\)便可;

\(f(2x-1)\)的定义域,即\(y=\sqrt{2x-1}\)的定义域,则求\(2x-1≥0\)便可;

\(f(x^2-1)\)的定义域,即\(y=\sqrt{x^2-1}\)的定义域,则求\(x^2-1≥0\)便可.

所以\(f(x)、f(2x-1)、f(x^2-1)\)的定义域,

其中\(x,2x-1,x^2-1\)的范围都是\(≥0\),是相同的.

有时候抽象函数较难理解,可以附上具体的解析式,会好理解些.

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=27348

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