【反比例函数】【做题笔记】【图形存在性】题目合集
1.（2023 秋·盐城月考）
如图，点 \(A\) 在双曲线 \(y=\frac{k}{x} \ (k \neq 0)\) 的第一象限的图象上，\(AB\) 垂直于 \(y\) 轴于点 \(B\)，点 \(C\) 在 \(x\) 轴的正半轴上，且 \(OC=3AB\)，点 \(E\) 在线段 \(AC\) 上，且 \(AE=3EC\)，点 \(D\) 为 \(OB\) 的中点，若 \(\triangle ADE\) 的面积为 \(3\)，求 \(k\) 值。
设 \(AB=a\)，则 \(OC=3a,OB=\frac{k}{a},BD=DO=\frac{k}{2a}\)。
【解法一】面积法
连接 \(DC\)，可知：
所以 \(S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{k}{2a}=\frac{k}{4}\)。
\(S_{\triangle DOC }=\frac{1}{2} \cdot 3a \cdot \frac{k}{2a}=\frac{3k}{4}\)。
又因为 \(\triangle AOE,\triangle DEC\) 同高，且 \(AE=3EC,S_{\triangle ADE}=3\)。
所以 \(S_{\triangle ADC}=4\)。
又因为 \(S_{梯形 ABOC}=\frac{1}{2}(a+3a)\frac{k}{a}=2k\)。
所以：
解得 \(k=4\)。
【解法一】面积法、相似
如图，作 \(AG,EF \perp x\) 轴。
可知 \(\triangle AGC \sim \triangle EFC\)。
同理可得 \(EC=\frac{k}{4a},FG=\frac{3k}{2},GC=\frac{k}{2}\)。
所以，有
可列方程：
解得 \(k=4\)。
2.（2023·顺德区三模）等积转化
如图，平行于 \(y\) 轴的直尺（部分）与反比例函数 \(y=\frac{m}{x}(x>0)\) 的图象交于 \(A,C\) 两点与 \(x\) 轴交于 \(B,D\) 两点，连接 \(AC\)，点 \(A,B\) 对应直尺上的刻度分别为 \(5,2\)，直尺的宽度 \(BD=2,S_{\triangle AOC}=5\)，求点 \(C\) 的坐标。
由题意得 \(A(3,\frac{m}{3})\)，则 \(B(\frac{m}{3},0)\)。
所以 \(D(\frac{m}{3}+2,0)\)，将 \(x_C\) 代入 \(y=\frac{m}{x}\)，得 \(C(\frac{m}{3}+2,\frac{3m}{m+6})\)。
所以 \(CD=\frac{3m}{m+6}\)。
有如下定理：\(S_{\triangle AOC}=S_{梯形 ABDC}\)。
因为根据反比例函数的性质，\(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=\frac{|m|}{2}\)。
减去公共部分就会发现，有一个三角形和一个梯形面积相等。所以直接转化面积。所以：
解得 \(m=12\)。直接代入，得 \(C(6,2)\)。
3.（2024·顺河区校级一模）
如图，一次函数 \(y=ax+b\) 的图象与反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象交于第一象限 \(C(1,4),D(4,m)\) 两点，与坐标轴交于 \(A\)、\(B\) 两点, 连接 \(OC,OD\)（\(O\) 是坐标原点）。
-
求一次函数与反比例函数的解析式。
-
将直线 \(AB\) 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
第一问直接跳过，得 \(y=\frac{4}{x},l_{AB}:y=-x+5\)。
对于第二问，设 \(l_{AB}':y=-x+5-m\)。
\( \left\{\begin{matrix} y=\frac{4}{x}\\ l_{AB}:y=-x+5 \end{matrix}\right. \) 得 \(x^2-(5-m)x+4=0\)。
令 \(\Delta=0\)，解得 \(m_1=9,m_2=1\)。
4.（2025·市中区一模）
如图 \(1\)，在平面直角坐标系中，矩形 \(OCBA\) 的顶点 \(C,A\) 分别在 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的正半轴上，反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象与 \(AB,BC\) 分别交点 \(D,E\)，且顶点 \(B\) 的坐标为 \((6,3),BD=2\)。
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求反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的表达式及 \(E\) 点坐标;
-
如图 \(2\)，连接 \(DE,AC\)，试判断 \(D E\) 与 \(AC\) 的数量和位置关系，并说明理由。
-
如图 \(3\)，连接 \(AE\)，在反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象上是否存在点 \(F\)，使得 \(∠AEF=45°\)，若存在，请求出点 \(F\) 的坐标；若不存在，说明理由。
第一、二问很好做，直接求坐标相似即可，注意线段之间的关系包括位置关系和数量关系。
求得 \(y=\frac{12}{x},B(6,3),D(4,3),E(6,2)\)。
这里的策略是，构造等腰直角三角形，然后再用一线三垂直模型解答。
这里分类讨论。如图 \(1\) 和图 \(3\)。
文中的图也许不标准。但是必有 \(l_{GE}\) 与反比例函数交于两点（\(F,E\)）。
所以我们可以求得 \(G_1(1,9),G_2(-1,-3)\)。所以可求得:
将其分别与 \(y=\frac{12}{x}\) 联立，得到两个方程。
这里直接解实在太太太太太太费时间了，这里推荐使用韦达定理。因为我们已知有一根 \(x=6\)。
最后算出：
5.（2024秋·凤城市期末）
如图，一次函数 \(y=-x+3\) 的图象与反比例函数 \(y=\frac{2}{x}\) 在第一象限的图象交于 \(A(1,2)\) 和 \(B(2,1)\) 两点，与 \(x\) 轴交于点 \(C\)。
- 若点 \(P\) 在 \(y\) 轴上，\(Q\) 在双曲线上，当以 \(A\)、\(B\)、\(P\)、\(Q\) 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 \(Q\) 点的坐标。
一二问删去了，对于第三问，我们可以直接将其抽象为数学模型。我们可知有三种情况。即分别以 \(AB,AP,AQ\) 为对角线的构造。那么怎么求解呢？
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。那么根据中点坐标公式，定义中点 \(O\)，此时 \(AB\) 为对角线。有：
所以此时：
同理可算出三种情况：
\(Q(-1,-2),Q(1,2)(舍去)Q(3,\frac{2}{3})\)。
6.（2023秋·碑林区校级月考）
如图，一次函数 \(y=kx+b(k≠0)\) 的图象与反比例函数 \(y=\frac{m}{x}(x>0)\) 的图象交于 \(A(2,a)\)、\(B(8,-1)\) 两点。
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求反比例函数与一次函数的关系式；
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在 \(x\) 轴上是否存在一点 \(P\)，平面坐标系内是否存在一点 \(Q\)，使以 \(A\)、\(B\)、\(P\)、\(Q\) 为顶点的四边形为矩形?若存在，求出点 \(P\) 的坐标；若不存在，请说明理由。
第一问直接求出 \(y=\frac{8}{x},l_{AB}:y=\frac{1}{2}x-5,A(2,-4)\)。
第二问我们想到，一个矩形，其实就是两个直角三角形拼成的。所以问题转化为是否有一点 \(P\)，使得 \(A,B,P\) 构成直角三角形？
两线一圆构造即可。
这里解释一下「一圆」。因为直径所对的圆周角是直角，所以直接取 \(AB\) 的中点为 \(O\)，以 \(O\) 为圆心，\(OA\) 为半径画圆。与 \(x\) 轴交点即为所求。即：
设 \(P(m,0)\)。
解得 \(m=5 \pm \sqrt{5}\)。
过 \(A\) 点作垂，倍长中线即可。
过 \(G\) 点作垂，相似即可。