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鲜花:不会说明你有抑郁症1

已知均匀随机正实数 \(x,y,z\) 满足 \(x<y<z\)\(x+y+z=1\),求 \(x\) 的期望。

一眼枚举 \(y,z\) 求二重定积分,哎我咋算不对数。

\(f(k)\) 表示 满足 \(x+y+z=1\)无序三元组 \((x,y,z)\) 中,\(x,y,z\)\(>k\) 的概率,根据期望线性性,有:

\[\text{E}=\int_{0}^{\frac{1}{3}} f(x) \text{d}x \]

下求 \(f(x)\)

我们所求 \(f(k)\) 为满足 \(x+y+z=1\)无序三元组 \((x,y,z)\) 中,\(x,y,z\)\(>k\) 的概率,即:满足 \(x+y+z=1-3k\)无序三元组中,\(x,y,z\)\(>0\) 的概率。

关于这个问题,我们有一个组合意义:将一根长 \(1-3k\) 的木棍划分成三段,三段的长度为 \(x,y,z\),那么容易得到 \(f(k)=(1-3k)^2\)

带入原式,得:

\[\text{E}=\int_{0}^{\frac{1}{3}} (1-3x)^2\text{d}x=\frac{1}{9} \]

推广到 \(n\) 个变量时,容易得到期望为 \(\dfrac{1}{n^2}\)

优雅!

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