基本概念
- 函数（function）：函数是一种映射，输入一个数，输出一个数。
- 泛函（functional）：泛函也是一种映射，输入一个函数，输出一个数。故我们可以说泛函是函数的函数。
- 微分（derivation）：微分是函数的”输入和输出“的无穷小变化，即自变量(数)的无穷小变化和由其引起的函数的无穷小变化。
- 变分（variation）：变分是泛函的“输入和输出”的无穷小变化，即函数的无穷小变化和由其引起的泛函的无穷小变化。\(\delta f(t)=f_1(t)-f_2(t)\)。这里的\(\delta\)表示变分运算。
![微分和变分的区别]()
- 全导数：一个函数相对参数的完整导数。全导数不仅仅是某个变量的偏导数，而是考虑了所有依赖变量的链式求导的结果。
一些常见的泛函（例子）
- 平面上两点之间的曲线长度\(S\)为平面曲线方程\(f(x)\)的泛函：
\[S=\int_{x_1}^{x_2}dx\sqrt{1+(f'(x))^2}
\]
经典力学中的泛函通常可以写成积分的形式：
\[S=\int_{t_1}^{t_2}dtL(t,f(t),f'(t),f''(t),\dots)
\]
变分的运算规则
- \(\delta(f^n)=nf^{n-1}\delta(f)\)
- \(\delta(af_1+bf_2)=a\delta(f_1)+b\delta(f_2)\)
- \(\delta(f_1f_2)=f_1\delta(f_2)+f_2\delta(f_1)\)
- 微分变分可交换符号：\(\delta(df)=d(\delta f)\)
- 变分和导数也可交换符号：\(\delta(\frac{df(t)}{dt})=\frac{d}{dt}(\delta f(t))\)
- 变分符号可以移到积分号内
导数
普通函数的导数：
函数\(f(t)\)的微分是由自变量\(t\)的微分引起的：
\[f(t^{\prime})=f(t+\epsilon dt)=f(t)+\epsilon df(t)+\frac{\epsilon^2}{2}d^2 f(t)+\frac{\epsilon^3}{3!}d^3 f(t)\dots
\]
一阶导数：
\[df(t)=\frac{df(t)}{dt}dt
\]
高阶导数：
\[d^n f(t)=\frac{d^n f(t)}{dt^n}(dt)^n
\]
泛函的导数：
为了更好地理解泛函的导数，先类比多元函数\(F=F(x_1,x_2,\dots,x_n)\)的微分：
\[dF=\sum_n \frac{\partial F}{\partial x_n}dx_n
\]
泛函的变分是由函数的变化引起的：
\[S(t')=S[f+\epsilon \delta f]=S[f]+\epsilon\delta S[f]+\frac{\epsilon^2}{2}\delta^2S[f]+\frac{\epsilon^3}{3!}\delta^3S[f]+\dots
\]
一阶变分和一阶泛函导数：
\[\delta S[f]=\int dt \frac{\delta S}{\delta f(t)}\delta f(t)
\]
这里\(\delta S[f]\)是泛函的一阶变分，\(\frac{\delta S}{\delta f(t)}\)是一阶泛函导数。这个表达式表明，泛函的变分是函数变分\(\delta f(t)\)与泛函导数的乘积在定义域上的积分。这种形式与普通函数的导数类似，其中函数的微小变化乘以导数给出函数值的变化。由于\(\delta f(t)\)是一个函数而非单一变量的增量，我们需要对整个定义域进行积分，以累积所有点的变化对泛函的影响，所以式中一定有积分。
高阶变分和高阶泛函导数：
\[\delta^n S[f]=\int dt_1\int dt_2\dots\int dt_n\frac{\delta^n S}{\delta f(t_1)\delta f(t_2)\dots \delta f(t_n)}\delta f(t_1)\delta f(t_2)\dots\delta f(t_n)
\]
复习分部积分
分部积分来源于微分的乘积规则：
\[du v=d(uv)-udv
\]
对两边积分并整理，得到分部积分公式：
\[\int u' vdt=uv-\int uv'dt
\]
如何求泛函的一阶导数
令泛函为：
\[S[f]=\int dt L(t,f(t),f'(t),f''(t),\dots)
\]
我们要求的是泛函的变分，也即：
\[\delta S[f]=\delta \int dt L(t,f(t),f'(t),f''(t),\dots)
\]
第一步：我们将变分符号移到积分内部（注意：我们之前介绍过积分和泛函可以交换位置）
\[\delta S[f]=\int dt \delta L(t,f(t),f'(t),f''(t),\dots)
\]
第二步：我们计算\(\delta L\)，使用类似符合函数求导的规则
\[\delta S[f]=\int dt (\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'+\frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''+\dots)
\]
第三步：做分部积分，目的是将\(\delta f\)提出去。我们先看第二项：\(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'=\frac{\partial L}{\partial f'}\delta \frac{df}{dt}\)。根据变分和微分可以交换顺序，这一项又可以被写成\(\frac{\partial L}{\partial f'}\frac{d}{dt}\delta f\)。我们令\(u=\frac{\partial L}{\partial f'}\)，令\(v=\delta f\)。因此我们可以写出\(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'=d(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f)-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f)\)。其中第一项为全导数项可以省略。因此最终我们的第二项为：\(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'=-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f)\)。第三项是同样的推导方法，只是需要使用两次分部积分。
\[\delta S[f]=\int dt[\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})+\frac{d^2}{dt^2}(\frac{\partial L}{\partial f''})+...]\delta f
\]
第四步：提取\(\delta f\)前的系数，即一阶泛函导数
\[\frac{d S}{d f}=\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})+\frac{d^2}{dt^2}(\frac{\partial L}{\partial f''})+\dots
\]
？为什么全导数项在变分时可以省略
假设存在一个泛函：
\[S[f]=\int_{t_1}^{t_2}L(f,f^{\prime},f^{\prime\prime},\dots,t)dt
\]
如果被积函数\(L\)中含有某个全导数项，例如：
\[L(f,f^{\prime},t)=\frac{d}{dt}A(f,t)
\]
那么泛函就成为了：
\[\int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}A(f,t) dt=A(f(t_2),t_2)-A(f(t_1),t_1)
\]
这只是边界上的值，和整个函数\(f(t)\)在区间上的“形状”无关。而变分法关注的是在保留边界不变，即\(\delta f(t_1)=\delta f(t_2)=0\)的前提下，泛函\(S[f]\)的极值。因此，全导数项在变分时对极值没有贡献，其变分为零。
泛函极值
考察当输入函数取什么形式时，泛函输出的值取极值，这就是泛函极值问题。泛函极值问题可以回答：1. 为何两点之间直线距离最短？2. 如何使得平面上固定长度曲线所围的面积最大？3. 轨道形状如何小球下落时间最短？等问题。
而泛函取极值的条件则为，泛函的一阶导数为零，自然地泛函的一阶变分也为零（类比函数取极值即为其一阶导数为0）：
\[\delta S[f]=0
\]
\[\frac{\delta S[f]}{\delta f}=0
\]
如何理解呢？假设泛函\(S[f]\)在\(f=f_1(t)\)时取极小（大）值，意味着任何对\(f_1(t)\)的小偏离\(f_1+\epsilon\delta f\)，都会使得\(S[f_1+\epsilon \delta f]\)的值比\(S[f_1]\)的值大（小）,因此只有当\(\delta f=0\)时才会取极值。这也等价于\(S[f_1+\epsilon\delta f]\)作为参数\(\epsilon\)的普通函数，在\(\epsilon=0\)处取极值。
正如一阶导数为零只是函数取极值的必要而非充分条件，同样，一阶泛函导数为零只是泛函取极值的必要而非充分条件。
欧拉-拉格朗日方程
物理中大部分感兴趣的系统都是泛函的被积函数\(L\)最高包含\(f\)的一阶导数:
\[S[f]=\int dt L(t,f(t),f'(t))
\]
此前已经说过，泛函取极值的必要条件是泛函的一阶导数为零，因此：
\[-\frac{\delta S}{\delta f}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})-\frac{\partial L}{\partial f}=0
\]
这是变分问题的欧拉-拉格朗日方程。
直接对L求全导数：
\[\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial f}f'+\frac{\partial}{\partial f'}f''=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial f}f'+\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f')-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})f'=\frac{\partial L}{\partial t}-[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})-\frac{\partial L}{\partial f}]f'+\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f')
\]
根据之前一阶泛函导数取极值，我们知道方括号中的内容为0，据此我们可以得到：
\[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f'-L)+\frac{\partial L}{\partial t}=0
\]
我们称这个公式为欧拉-拉格朗日方程的等价形式。
如果被积函数\(L\)包含\(f(t)\)的最高到\(N\)导数，即\(L=L(t,f,f',\dots,f^{(N)})\)，则上面的求和展开为：
\[\frac{\delta S}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})+\dots+(-1)^{(N)}\frac{d^N}{dt^N}(\frac{\partial L}{\partial f^{(N)}})
\]
如果\(\frac{\partial L}{\delta f}\)中\(f(t)\)的最高阶导数来自最后一项，如果\(\frac{\partial L}{\partial f^{(N)}}\)仍然包含\(f^{(N)}\)，即：
\[\frac{\partial}{\partial f^{(N)}}(\frac{\partial L}{\partial f^{(N)}})=\frac{\partial^2L}{\partial f^{(N)}\partial f^{(N)}}\neq 0
\]
则\(\frac{d^N}{dt^N}(\frac{\partial L}{\partial f^{(N)}})\)包含最高至\(f(t)\)的\(2N\)阶导数。满足上边这个式子的\(L\)也被称作是非退化的。
守恒量
我们对上边的\(L\)直接求全导数：
\[\frac{dL}{dt}=
\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial f}f'+\frac{\partial L}{\partial f'}f''=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial f}f'+\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f')-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})f'=\frac{\partial}{\partial t}-[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'})-\frac{\partial L}{\partial f}]+\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f')\]
因此当欧拉拉格朗日方程满足时，也必定有：
\[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial f'}f'-L)+\frac{\partial L}{\partial t}=0
\]
如果\(L\)不显含积分变量\(t\)，也即\(L\)是守恒量，也即\(L\)不随时间演化，我们可以得知：
\[\frac{\partial L}{\partial t}=0 \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial f'}f'-L=C
\]
其中\(C\)是常数。
多个变量和多元函数
多个变量
上述研究的是依赖单个函数\(f(t)\)的泛函，即\(S=S[f]\)。以上所有讨论对于多个独立函数\(f_1(t),f_2(t),\dots\)的泛函的推广是直接的。考虑泛函：
\[S=S[f_1,f_2,\dots]=f dxL(t,f_1,f_2,\dots,f_1^{\prime},f_2^{\prime})
\]
其极值同样要求：
\[\delta S=\int dx(\frac{\delta S}{\delta f_1}\delta f_1+\frac{\delta S}{\delta f_2}\delta f_2+\dots)=0
\]
函数\(f_1,f_2,\dots\)是独立的，其变分\(\delta f_1,\delta f_2,\dots\)也是相互独立的，因此上式成立的必然要求是每一项的系数都为零，于是泛函取极值即要求：
\[\frac{\delta S}{\delta f_1}=0,\frac{\delta S}{\delta f_2}=0,\dots
\]
多元函数
设\(f\)是\(t\)和\(x\)的二元函数\(f=f(t,x)\)。简单起见，我们只考虑\(L\)含有\(f\)的一阶导数，泛函具有形式：
\[S[f]=\int \int dt dx L(t,x,f,\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial x})=\int \int dt dx [\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial f}{\partial t})}\delta(\frac{\partial f}{\partial t})+\frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})}\delta(\frac{\partial f}{\partial x})]=\int \int dt dx[\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial t})})-\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})})]$$。
所以泛函取极值的必要条件即：
$$\frac{\delta S}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial f}{\partial t})})-\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial f}{\partial x})})\]
