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向量空间与子空间

映射

对于集合 \(X,Y\),定义映射

\[F:X \to Y \]

表示

\[\forall x\in X, F(x)\in Y \]

\(\forall x_1\neq x_2\)\(F(x_1)\neq F(x_2)\),称 \(F\) 为单射。

\(\forall y\in Y\)\(\exists F(x)=y\),称 \(F\) 为满射。

\(y=F(x)\),称 \(y\)\(x\) 的像 (image),\(x\)\(y\) 的原像 (pre-image)。

\(X\) 为定义域 (domain),\(Y\) 为陪域 (range)。

映射的举例:如实数上的加法即

\[\begin{align*} F:\mathbb{R} \times \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ (a, b) &\mapsto a+b \end{align*} \]

向量空间

定义

一个实数向量空间是一组具有向量加法和数乘法则的向量。

一个完整的向量空间记作 \((V, + , \circ , \mathbb{R})\)

\(V\) 为空间包含的向量集合。

\(+\) 代表向量加,表示映射

\[\begin{align*} + : V \times V &\to V \\ (v_1, v_2) &\mapsto v_3 \end{align*} \]

\(\circ\) 代表向量数乘,表示映射

\[\begin{align*} \circ : \mathbb{R} \times V &\to V \\ (c, v) &\mapsto v' \end{align*} \]

向量空间需要满足以下 8 条规则(\(x,y\) 表示向量,\(c,c_1,c_2\) 表示实数):

向量加法的四条公理:

\[\begin{align} &x+y=y+x \\ &x+(y+z)=(x+y)+z \\ &\exists 0, \forall x, x+0=x \\ &\forall x, \exists -x, x+(-x)=0 \\ \end{align} \]

标量乘法的四条公理:

\[\begin{align} &1x=x \\ &(c_1c_2) x=c_1(c_2x) \\ &(c_1+c_2)x=c_1x+c_2x \\ &c(x+y)=cx+cy \end{align} \]

注:

向量空间定义中的 \(\mathbb{R}\) 其实可以被替换成任意域 \(\mathbb{F}\)。下讨论时默认为 \(\mathbb{R}\)

同时,在上下文语境中,有时空间也会用来指代包括的向量集合,而不是包含向量加和数乘的完整定义。

非一般的向量空间

除了常见的由实数数组向量构成的向量空间,也有如下一些空间:

\(\mathbb{R}^{\infty}\)

定义在 \([0,1]\) 上的所有函数即 \(\{f| \text{domain of}\ f\ \text{is}\ [0, 1]\}\)

定义新的向量加和数乘还可以构造空间例如

\[(\mathbb{R}^+, +, \circ, \mathbb{R}) \]

其中

\[\begin{align*} +:\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R}^+ \\ (a, b) &\mapsto a\times b \end{align*} \]

\[\begin{align*} \circ:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R}^+ \\ (c, x) &\mapsto x^c \end{align*} \]

向量空间公理的推论:

  1. \(0x=\vec{0}\)

\[\begin{align*} 0x&=(0+0)x \\ &=0x + 0x \\ \\0x+(-(0x)) &= 0x+0x+(-(0x)) \\ \vec0 &= 0x \end{align*} \]

  1. \((-1)x=-x\)

\[\begin{align*} \vec{0}=0x&=(1-1)x \\ &=x+(-1)x \\ \\ \vec{0}&=x+(-1)x \\ -x&=x-x+(-1)x \\ -x&=(-1)x \end{align*} \]

  1. \(x+y=x+z \to y=z\)

\[\begin{align*} x+(-x)+y&=x+(-x)+z \\ y&=z \end{align*} \]

  1. \(\beta \vec{0} = \vec{0}\)

\[\begin{align*} \text{because of 1, }0\vec0&=0 \\ \\ \beta\vec0 &= \beta(0\vec0) \\ &=(\beta0)\vec0 \\ &=0\vec0=\vec0 \end{align*} \]

  1. \(\alpha x = \vec{0} \to x=\vec{0} \text{ or } \alpha=\vec{0}\)

\[\begin{align*} \text{When } \alpha &\neq 0,\\ \\ \alpha x&=0\\ \frac{1}{\alpha}(\alpha x)&=\vec0\\ (\frac{1}{\alpha}\alpha)x&=\vec0\\ x&=\vec0 \end{align*} \]

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=32657

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