常系数齐次微分方程
引子
线性相关/线性无关
设 \(y_1,y_2, \dots , y_n\) 为定义在 \(I\) 上的 \(n\) 个函数,如果存在 \(n\) 个不全为零的常数 \(k_1,k_2, \dots k_n\) 使得如下恒等式成立:
那么称这 \(n\) 个函数在区间 \(I\) 上线性相关,否则称线性无关。
二阶
首先,要找出该方程的通解,我们要先找出两特解 \(y_1\), \(y_2\),且 \(y_1 ,y_2\) 应线性无关。
我们发现,\(e^{rx}\) 的各阶导数与它本身都只相差了一个常数因子,所以我们尝试设其为该方程的一个解。
则有:\(r^2e^{rx} + pre^{rx} + qe^{rx} = 0\) ,化简得:\((r^2 + pr + q)e^{rx} = 0\) ,所以有方程:
只要满足该方程的 \(r\),就一定满足上述微分方程。而该方程也被称为方程 \((1)\) 的特征方程,其两根 \(r_1,r_2\) 可用求根公式求出。而其中我们可以分出来三类:\(\Delta > 0,\Delta = 0,\Delta < 0\) 。
\(\Delta > 0\) / 存在两实根
则:
又因两特解 \(e^{r_1x},e^{r_2x}\) 线性无关,所以通解为:
\(\Delta = 0\) / 有两相同实根
此时只有 \(r_1 = r_2 = -\frac{p}{2}\),只能得到微分方程的一个解 \(y_1 = e^{r_1x}\)。为了得到通解,还需解出另一个解 \(y_2\) 使得 \(\frac{y_2}{y_1}\) 不为常数。那么我们设 \(\frac{y_2}{y_1} = u(x), y_2 = u(x)y_1\),带入微分方程,得到:
又因为 \(r_1 = -\frac{p}{2}\),所以 \((2r_1 + p) = 0 , (r_1^2 + pr_1 + q) = 0\),则可得:
那么我们不妨设 \(u(x) = x\),则 \(y_2 = xe^{r_1x}\),所以通解为:
\(\Delta < 0\) / 有两共轭虚根
其中:
对其运用欧拉公式,可得:
同理,对于 \(y_2\),有:
但是这两个通解都为复值函数,所以我们做如下变换使得 \(y_1,y_2\) 变为实值函数:
则通解为: