I、整除理论
一、自然数与整数
这里的自然数定义和各种规律以及反证法的定义就不再赘述，我们从归纳法开始讲起。
1.归纳原理
归纳原理： 设 S 是 N 的一个子集，满足条件：
(i) \(1 \in S\)
(ii) \(n \in S\)，那么有 \(n + 1 \in S\)。
则 \(S = N\)。
那么我们就有以下推论：
数学归纳法： 设 \(P(i)\) 是关于 \(i\) 的一个命题，满足条件：
(i) \(P(1) = 1\)
(ii) \(P(i) = 1\)，那么有 \(P(i + 1) = 1\)。
则对于所有 \(x \in N\)，都有 \(P(x) = 1\)。
这个定理在很多数学证明题里面都非常实用，主要思路是先证明 \(P(1) = 1\)，再证明 (ii)，一般证明时 (ii) 是最难证明的，而 (ii) 的证明需要视情况而定，读者可以通过多练习，熟能生巧来逐渐熟悉。
2.最小自然数定理
最小自然数定理： 设 \(T\) 是 \(N\) 的一个非空子集，则必有 \(t_0 \in T\)，对于任意的 \(t \in T\)，都有 \(t_0 \le t\)。
同理，有最大自然数定理：
最大自然数定理： 设 \(T\) 是 \(N\) 的一个非空子集，则必有 \(t_0 \in T\)，对于任意的 \(t \in T\)，都有 \(t_0 \ge t\)。
例题 1（对应习题中的 1.）：设 \(k_0\) 是给定的自然数，\(P(n)\) 是关于 \(n\) 的一种性质或命题，证明：如果
(i) \(P(k_0) = 1\)
(ii) 由 \(P(n)\) 成立可以推出 \(P(n + 1)\) 成立。
那么对于所有 \(n \ge k_0\)，都有 \(P(n) = 1\)。
解答：
假设定理不成立，则不妨设 \(A\) 为所有不成立的整数中组成的集合，很容易证明 \(A\) 非空。
由最小自然数定理可得，\(A\) 集合有最小自然数 \(a_0\)。
但由于 \(P(a_0) = 0\)，所以 \(P(a_0 - 1) = 0\)。
所以 \(a_0 - 1\) 也在集合 \(A\) 中，所以最小自然数应该为 \(a_0 - 1\)。
与原题矛盾，该猜想不成立。
所以原命题成立。
3.第二数学归纳法
第二数学归纳法： 设 \(P(i)\) 是关于 \(i\) 的一个命题，满足条件：
(i) \(P(1) = 1\)
(ii) 对于 \(n > 1\)，若所有的自然数 \(m < n\)，都有 \(P(m) = 1\)，则可以推出 \(P(n) = 1\)
则对于所有 \(x \in N\)，都有 \(P(x) = 1\)。
虽然这个定理没有第一数学归纳法常用，但一些题目还是会涉及到它，我们通过例题 2 来运用：
例题 2（对应习题中的 2.）：设 \(k_0\) 是给定的自然数，\(P(n)\) 是关于 \(n\) 的一种性质或命题，证明：如果
(i) \(P(k_0) = 1\)
(ii) 对于 \(n > k_0\)，若所有的自然数 \(k_0 \le m < n\)，都有 \(P(m) = 1\)，则可以推出 \(P(n) = 1\)
那么对于所有 \(n \ge k_0\)，都有 \(P(n) = 1\)。
解答：
假设定理不成立，则不妨设 \(A\) 为所有不成立的整数中组成的集合，很容易证明 \(A\) 非空。
由最小自然数定理可得，\(A\) 集合有最小自然数 \(a_0\)。
但由于 \(P(a_0) = 0\)，所以对于自然数集合 \(M = \{m|k_0 \le m < a_0\}\)，至少有一个数 \(m_0\) 使得 \(P(m_0)=1\)。
所以 $P(m_0)
与原题矛盾，该猜想不成立。
所以原命题成立。