第一讲：实数系
我们可以定义有序域 \(F\) 。一些有序域 \((F,+,\cdot,\le )\) 满足以下所谓连续公理：
连续公理
阿基米德公理：\(\forall x,y\in F,x>0,\exists n\in N^{+}\) 使得 \(nx>y\)
完备公理：若存在代数结构 \((F',+,\cdot,\le )\) 满足 \(F\subseteq F'\)，且在 \(F\) 上做的运算和 \((F,+,\cdot,\le)\) 自身运算相同，则 \(F=F'\) 。
我们将满足连续公理的有序域称为它满足实数系公理
由戴德金分割得到的实数系就满足实数系公理
实数系的唯一性：
如果有另一个代数结构满足实数系公理，那么它是与实数系同构的！（注意这里的同构不仅是构造双射，而且代数运算也是要对应的，比如说 \(\varphi(x)\circ_+\varphi(y)=\varphi(x+y)\)）
我们来证明这个定理。
Step1:
我们需要证明一个引理。
前置知识：
事实：若 \(F\) 是特征为 \(0\) 的域，则存在 \(Q\) 到 \(F\) 的保序单射的同态（被称为嵌入）。
设 \((R^{*},\oplus,\otimes,\le )\) 是一个满足实数系公理的代数结构。
可以证明它特征为 \(0\) 。找到 \(Q\) 到 \(R^{*}\) 的嵌入，我们不妨认为 \(Q\) 是 \(R^{*}\) 的子域。
引理： \(\forall a,b\in R^{*}\) 且 \(a<b\) ，\(\exists r\in Q\) 使得 \(a<r<b\)
引理证明：
先找到 \(n\in N^{+}\) 使得 \(n(b\ominus a)>2\) 。那么 \(\frac{1}{n}<\frac{b\ominus a}{2}\) 。然后再找到最小的 \(m\in N^{+}\) 使得 \(\frac{m}{n}>a\) ，则 \(\frac{m-1}{n}\le a\) 。
那么 \(\frac{m}{n}\le a\oplus \frac{1}{n}<a\oplus \frac{b\ominus a}{2}<b\) ，所以 \(a<\frac{m}{n}<b\) ，\(\frac{m}{n}\) 就是我们要找的有理数。
Step2:
利用引理，我们设 \(\varphi:(R^{*},\oplus,\otimes,\le )\rightarrow (R,+,\cdot,\le)\) 。
\(\forall a\in R^{*}\) ，构造 \(\varphi(a)=\{x\in Q|x<a\}\) 。可以证明 \(\varphi\) 就是我们要找的同构！
良定义显然。
单射：\(\forall a,b\in R^{*}\) 满足 \(a\neq b\) ，不妨令 \(a<b\) ，则根据引理存在 \(r\in Q\) 使得 \(a<r<b\) ，那显然 \(\varphi(a)\neq \varphi(b)\) 。
保序显然，单位元显然相同。
\(\varphi(a)\oplus\varphi(b)=\varphi(a\oplus b)\) ：
先证明 \(\varphi(a)+\varphi(b)\subseteq \varphi(a\oplus b)\) ，这是显然的：\(\forall r_1<a,r_2<b,r_1+r_2<a\oplus b\) 。
反过来，\(\forall r\in \varphi(a\oplus b)\) ，有 \(r<a\oplus b\) ，根据引理取 \(r_2\in Q\) 使得 \(r\ominus a<r_2<b\)
再取 \(r_1\) 使得 \(r-r_2<r_1<a\) ，那么 \(r<r_1+r_2,r_1<a,r_2<b\) 。
综上，\(r\in \varphi(a)+\varphi(b)\) ，于是 \(\varphi(a\oplus b)\subseteq \varphi(a)+\varphi(b)\) 。
乘法的证明类似，我们先在 \(R^{+}\) 上证明然后稍微拓展一下。
怎么证明满射？通过前面的部分，已经可以确认 \(\varphi(R^{*})\) 是 \(R\) 的子代数结构，根据完备公理即可得 \(\varphi(R^{*})=R\)。证明完成。
另一种实数定义方式：Cauchy列
\(Q\) 上的序列 \(\{a_n\}_{n=1}^{+\infty}\) 满足 \(\lim\limits_{n,m\rightarrow +\infty}|a_m-a_n|=0\) ，则该序列被称为Cauchy列。
两个Cauchy列 \(a,b\) 等价：\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}|a_n-b_n|=0\) 。
将 \(R\) 定义为柯西列的等价类构成的集合。
那么加法和乘法的定义都是能猜到的，
即 \([\{a_n\}_{n=1}^{+\infty}]+[\{b_n\}_{n=1}^{+\infty}]=[\{a_n+b_n\}_{n=1}^{+\infty}]\) ，乘法同理。
但我们需要证明这个定义是良定义的，也就是说换成等价的其他序列，会导向同一个等价类。
$[{a_n}_{n=1}{+\infty}]<[{b_n}_{n=1}]\leftrightarrow $ 存在正整数 \(m\) ，使得 \(n\) 充分大时 \(a_n<b_n-\frac{1}{m}\) 。
同样，我们也要说明这是良定义的。
然后可以证明它和戴德金分割是等价的：先咕了。
“柯西域的概念可推广到一般的度量空间”这是什么意思？咕咕咕了