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无穷小和无穷大

无穷小量

\(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = 0\)\(f(x)\) 为当 \(x\rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0\)\({x_n}\)\(n\rightarrow \infty\)\(x_n\)为当 \(n \rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0\)\(\frac{1}{x}\) 为当 \(x \rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(0\) 是无穷小。

定理

\(x \rightarrow x_0\)\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A \rightarrow f(x) = A+\alpha\)\(\alpha\) 是无穷小。

运算

\(\alpha\)\(\beta\) 无穷小,\(x\rightarrow x_0\)

  • \(\alpha + \beta\) 无穷小
  • \(\alpha - \beta\) 无穷小
  • \(\alpha \cdot \beta\) 无穷小
  • \(\frac{\alpha}{\beta}\) 无法计算

无穷大量

无穷大分为 \(+\infty\)\(- \infty\)

定理

如果 \(f(x)\) 的极限是 \(\infty\) ,说明 \(f(x)\) 不存在极限。

例如,\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty\)\(\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty\)\(\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{1}{x} = -\infty\)

再比如,\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1} = \infty\)

运算

\(\infty\)

  • \(\infty + \infty\) 无法计算
  • \(\infty - \infty\) 无法计算
  • \(\infty \cdot \infty = \infty\)
  • \(\frac{\infty}{\infty}\) 无法计算

\(+ \infty\)

  • \((+\infty )+ (+\infty ) = (+\infty)\)
  • \((+\infty ) - (+\infty )\) 无法计算
  • \((+\infty ) \cdot (+\infty ) = (+\infty)\)
  • \(\frac{(+\infty )}{(+\infty )}\) 无法计算

\(-\infty\)

  • \((-\infty )+ (-\infty ) = (-\infty)\)
  • \((-\infty ) - (-\infty )\) 无法计算
  • \((-\infty ) \cdot (-\infty ) = (+\infty)\)
  • \(\frac{(-\infty )}{(-\infty )}\) 无法计算

定理

\(f(x)\) 是无穷大,\(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷小。

\(f(x)\) 是无穷小,且 \(f(x) \neq 0\)\(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷大。

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=32869

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