CMC蒲和平3.1

例3（凑）

求 \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x + 1) ^ 2(x - 1) ^ 4}}\).

solution

注意到 \(d(\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{-2}{(x - 1) ^ 2} dx\)，考虑凑微分。

\[I = \int \frac{dx}{\sqrt[3]{(\frac{x + 1}{x - 1}) ^ 2} (x - 1) ^ 2} = -\frac{1}{2}\int \frac{d(\frac{x + 1}{x - 1})}{\sqrt[3]{(\frac{x + 1}{x - 1}) ^ 2}} = -\frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}} + C \]

例5（三角公式）

求 \(\int\frac{dx}{\sin^4x + \cos^4 x}\).

solution

\[I = \int\frac{\sec^4 xdx}{\tan^4 x + 1} = \int\frac{(\tan^2x + 1)d(\tan x)}{\tan^4 x + 1} \]

设 \(u = \tan x\).

\[I = \int\frac{u ^ 2 + 1}{u ^ 4 + 1} du = \int \frac{1 + \frac{1}{u ^ 2}}{u ^ 2 + \frac{1}{u ^ 2}} du = \int \frac{d(u - \frac{1}{u})}{(u - \frac{1}{u}) ^ 2 + 2} \]

设 \(t = u - u ^ {-1}\).

\[I = \int \frac{dt}{t ^ 2 + 2} = \frac{1}{\sqrt 2}\int\frac{d(\frac{t}{\sqrt 2})}{(\frac{t}{\sqrt 2}) ^ 2 + 1} = \frac{1}{\sqrt 2} \arctan(\frac{t}{\sqrt 2}) + C = \frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\frac{\tan x - \cot x}{\sqrt 2}) + C \]

例17（反函数相关）

设 \(\int f(x)dx = F(x) + C\)，\(f(x)\) 可微，且 \(f(x)\) 的反函数 \(f ^ {-1}(x)\) 存在，证明：

\[\int f^{-1}(x)dx = xf^{-1}(x) - F[f^{-1}(x)] + C \]

proof

要证明的式子中都是 \(f ^ {-1}(x)\)，考虑换元，\(y = f ^ {-1}(x)\).

\[LHS = \int y dx = \int y d f(y) = yf(y) - \int f(y) dy = xf^{-1}(x) - F[f^{-1}(x)] + C \]

例18（有理函数）

求 \(\int\frac{x ^ 4 + x + 1}{x ^ 3 + 1}dx\).

solution

有理函数求解不定积分的流程：先分离常数，使得分子的次数小于分母的次数；然后进行待定系数裂项，化为分母最高为二次的形式；最后利用积分公式对每一项进行求解。

\(\frac{x ^ 4 + x + 1}{x ^ 3 + 1} = x + \frac{1}{x ^ 3 + 1}\).

所以只需求 \(J = \int \frac{1}{x ^ 3 + 1}dx\).

\[J = \int \frac{dx}{(x + 1)(x ^ 2 + x + 1) } = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{x - 2}{x ^ 2 - x + 1}\right) dx \]

然后就简单了，最后答案是 \(\frac{1}{2}x ^ 2 + \frac{1}{6}\ln \frac{(x + 1) ^ 2}{x ^ 2 - x + 1} + \frac{1}{\sqrt 3}\arctan \frac{2x - 1}{\sqrt 3} + C\).

后面的 例19 与之类似。

例20（凑）

求 \(\int \frac{7\sin x + \cos x}{3\sin x + 4\cos x}dx\).

solution

考虑对分母整体换元（凑微分）

\(d (3\sin x + 4\cos x) = (3\cos x - 4\sin x )dx\)，所以待定 \(7\sin x + \cos x = A(3\cos x - 4\sin x) + B(3\sin x + 4\cos x)\).

得到 \(A = - 1, B = 1\).

\[I = -\int dx + \int \frac{d(3\sin x + 4\cos x)}{3\sin x + 4\cos x} = -x + \ln |3\sin x + 4\cos x| + C \]

习题3(2) （有理化）

求 \(\int \frac{dx}{\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x}}\).

solution

\[I = \int \frac{(-\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x})dx}{(\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x})(-\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x})} \]

化简后得到：

\[I = \int \frac{(-\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x})dx}{2\sqrt{1 - x ^2}} \]

拆开每一项，最后答案是 \(I = -2\sqrt{1 - x} + 2\sqrt {1 + x} + \sqrt 2 \arcsin x + C\).

习题3(3)（凑）

求 \(\int \frac{dx}{(1 + x ^ 4)\sqrt[4]{1 + x ^ 4}}\).

solution

\[I = \int (1 + x ^ 4) ^ {-\frac{5}{4}} dx = \int x ^ {-5} (1 + x ^ {-4})dx = \int (1 + x ^ {-4}) d\left(\frac{(1 + x ^ {-4})}{-4}\right) = (1 + x ^ {-4}) ^ {-\frac{1}{4}} + C \]

习题4(1)（凑）

求 \(\int \frac{\ln(\tan x)}{\sin x\cos x} dx\).

solution

熟悉 \(\tan x\) 相关的凑微分。

\[I = \int \frac{\ln (\tan x)\sec ^2 x dx}{\tan x} = \int \frac{\ln (\tan x)}{\tan x}d(\tan x) = \int \ln (\tan x) d(\ln(\tan x)) = \frac{1}{2} \ln ^ 2 (\tan x) + C \]

习题12（三角公式）

计算积分 \(\int \frac{\cos ^ 2 x}{\sin x + \sqrt 3 \cos x} dx\).

solution

对于分母比较复杂的情况，可以对其进行换元。

\[I = \int \frac{\cos^2 x}{2\sin (x + \frac{\pi}{3})} dx \overset{t = x + \frac{\pi}{3}}{=} \int \frac{\cos ^ 2(t - \frac{\pi}{3})}{2\sin t}dt = \int \frac{(\frac{1}{2}\cos t + \frac{\sqrt 3}{2}\sin t) ^ 2}{2\sin t}dt \]

进一步化简：

\[I = \int \frac{\cos ^ 2 t + 3\sin ^ 2 t + 6\sin t\cos t}{8\sin t}dt \]

\(\int \frac{\cos ^ 2 t}{\sin t}dt = \int \frac{1 - \sin ^ 2 x}{\sin t} dt = \int \csc tdt - \int \sin t dt = - \ln|\csc x + \cot x| + \cos t + C\).

所以最后答案为 \(\frac{1}{8}(\cos t - \ln |\csc x + \cot x|) - \frac{3}{8}\cos t + \frac{3}{4} \sin t + C\).

习题14(1)

计算 \(\int e ^ {\sin x} \frac{x\cos ^ 3 x -\sin x}{\cos ^ 2 x} dx\).

solution

拆成两个：\(I_1 = \int e ^ {\sin x} x\cos x dx, I_2 = \int e ^ {\sin x}\frac{\sin x}{\cos ^ 2 x}dx\)，所求 \(I = I_1 - I_2\).

\[I_1 = \int xd(e ^ {\sin x}) = xe ^ {\sin x} - \int e ^ {\sin x} dx \]

考虑凑微分，先计算 \(\int \frac{\sin x}{\cos ^ 2 x}dx = - \int \frac{d\cos x}{\cos ^ 2 x} = \sec x + C\).

\[I_2 = \int e ^ {\sin x} d (\sec x) = e ^ {\sin x} \sec x - \int e ^ {\sin x} dx \]

大功告成：\(I = (x - \sec x) e ^ {\sin x} + C\).

习题15(2)

求 \(\int \frac{\ln (x + \sqrt{1 + x ^ 2})}{\sqrt{(1 + x ^ 2) ^ 3}}dx\).

solution

三角换元 \(x = \tan t\):

\[I = \int \frac{\ln (\tan t + \sec t)}{\sec t} dt = \int \cos t \ln (\sin t + 1)dt - \int \cos t \ln \cos t dt = I_1 - I_2 \]

\[I_1 = \int \ln (\sin t + 1)d(\sin t + 1) = (\sin t + 1)\ln (\sin t + 1) - \sin t + C \]

\[I_2 = \int \ln\cos t d(\sin t) = \sin t\ln \cos t + \int \frac{\sin ^ 2 t}{ \cos t} dt \]

设 \(J = \int \frac{\sin ^ 2 t}{\cos t} dt = \int \sec t - \cos t dt = \ln |\sec t + \cot t| - \sin t + C\).

所以 \(I = (\sin t + 1)\ln (\sin t + 1) - \sin t\ln \cos t - \ln |\sec t + \cot t| + C\).

最后答案是 \((\frac{x}{\sqrt{1 + x ^ 2}} + 1)\ln (\frac{x}{\sqrt{1 + x ^ 2}} + 1) - \frac{x}{\sqrt{1 + x ^ 2}} \ln \frac{1}{\sqrt{1 + x ^ 2}} - \ln |\sqrt {1 + x ^ 2} + \frac{1}{x}| + C\).不知道对不对