非常好的问题,这几个概念确实是 相似理论 的核心。让我系统地给你梳理它们之间的关系。
1. 特征多项式 (Characteristic Polynomial)
定义:
性质:
- \(p_A(\lambda)\) 的根就是矩阵的 特征值,重数是 代数重数。
- 相似矩阵有相同的特征多项式。
- 维度为 \(n\) 的矩阵,其特征多项式是一个 首一多项式 (monic polynomial),次数为 \(n\)。
2. 极小多项式 (Minimal Polynomial)
定义:
矩阵 \(A\) 的极小多项式 \(m_A(x)\) 是满足 \(m_A(A)=0\) 的首一多项式中 次数最小 的那个。
性质:
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极小多项式一定整除特征多项式:
\[m_A(x) \mid p_A(x). \] -
极小多项式能告诉我们 Jordan 块的大小。例如,如果某个特征值 \(\lambda\) 的 Jordan 块最大尺寸是 \(k\),那么 \((x-\lambda)^k\) 是 \(m_A(x)\) 的因子。
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相似矩阵有相同的极小多项式。
3. Jordan 标准型 (Jordan Canonical Form)
定义:
对任意复数域上的方阵 \(A\),存在一个可逆矩阵 \(P\),使得
其中 \(J\) 是块对角矩阵,每个块是一个 Jordan 块:
性质:
- Jordan 标准型由 特征多项式和极小多项式共同决定。
- 特征多项式告诉我们有哪些特征值以及它们的代数重数;
- 极小多项式告诉我们 Jordan 块的最大尺寸;
- 这两者结合起来唯一确定 Jordan 结构。
4. 首一多项式 (Monic Polynomial)
- 特征多项式、极小多项式都属于首一多项式。
- 在线性代数中,首一多项式的概念主要用来确保极小多项式的唯一性。
5. 相似不变量 (Similarity Invariants)
相似变换保持的一切不变量包括:
- 谱 (spectrum):特征值集合。
- 特征多项式。
- 极小多项式。
- Jordan 标准型(在复数域上唯一确定)。
- 秩、迹、行列式等。
这些构成了相似分类的核心。换句话说:
🔑 总结逻辑图
这是一个非常重要的问题:特征多项式、极小多项式、Jordan 标准型、相似不变量既有代数上的定义,也有几何上的直观含义。下面我分两部分来回答。
1. 代数角度
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特征多项式
\[p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A). \]纯粹代数对象:它的根是特征值,告诉我们矩阵的谱结构。代数重数 (algebraic multiplicity) 就是每个根的次数。
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极小多项式
极小多项式是代数上「矩阵满足的最小次数首一多项式」,即\[m_A(A)=0,\quad \deg(m_A)\;\;\text{尽可能小}. \]它反映矩阵的「最小代数关系」。代数上它决定 Jordan 块的最大大小。
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Jordan 标准型
在代数上,它是相似分类的最终结果:每个矩阵与一个唯一的 Jordan 形式相似。Jordan 块本质上是在代数上编码了「不能被对角化」的部分。 -
相似不变量
代数上,它们是由相似变换保持的量:行列式、迹、特征值、特征/极小多项式、Jordan 型。
2. 几何角度
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特征值与特征向量
几何上,特征值表示矩阵作为线性变换时,在某些方向上只做「伸缩」而不旋转。例如\[A v = \lambda v \]表示向量 \(v\) 在变换下保持方向不变,只被放大/缩小。
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代数重数 vs 几何重数
- 代数重数 (algebraic multiplicity):特征值作为多项式根出现的次数。
- 几何重数 (geometric multiplicity):对应特征向量空间的维数。
如果二者相等,就可以完全用一组特征向量作为基,从而对角化。
如果不相等,就需要广义特征向量,出现 Jordan 块。
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极小多项式
几何上,它反映「一个方向上需要多少次作用才能完全消掉非对角化的部分」。比如 Jordan 块大小 \(k\),意味着在该特征子空间里,\(A-\lambda I\) 需要作用 \(k\) 次才会让向量归零。 -
Jordan 标准型
几何上,它把空间分成几个不变子空间:-
每个 Jordan 块对应一个「链」:
\[v,\; (A-\lambda I)v,\; (A-\lambda I)^2 v,\;\dots \]这种链说明 \(A\) 在该方向不仅伸缩,还把基向量推到链的下一个位置。
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如果矩阵可对角化,就没有链,只剩下纯粹的伸缩方向。
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如果有 Jordan 块,几何上表现为「缺少足够的独立方向」,矩阵在子空间里还带有「剪切」作用。
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相似不变量
几何上,相似变换就是换基,所以不变量就是线性变换本身的本质属性,而不是基的选择结果。例如:伸缩比例(特征值)、链的长度(Jordan 块尺寸)、总体的体积缩放(行列式)、整体拉伸总和(迹)。
3. 类比总结
- 特征多项式:告诉你「有哪些伸缩比」(特征值),但不告诉你有几个独立方向。
- 极小多项式:告诉你「最复杂的剪切链有多长」。
- Jordan 标准型:完整描述:哪些方向纯伸缩,哪些方向有剪切链。
- 相似不变量:几何上就是「线性变换的本质动作」:伸缩、旋转、剪切,而不是具体坐标表示。