《电路基础》第七章学习笔记
本章主要介绍一阶电路，需要用到一阶微分方程来表征
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无源RC电路
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形成：
一个电阻器与一个已充电电容器组成的串联电路，当直流电源突然断开时，就会得到无源RC电路。
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由这个图，我们对顶点使用KCL得到：
\[\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t } +\frac{v}{RC} =0 \]重新整理：
\[\frac{\mathrm{d}v }{v} =-\frac{1}{RC}\mathrm{d}t \]两边取积分，整理得：
\[ln\frac{v}{A} =-\frac{t}{RC} \]抬底，得到：
\[v(t)=Ae^{-\frac{t}{RC}} \]初始条件：v(0) = A = \(V_{0}\)，可得：
\[v(t)=V_{0}e^{-\frac{t}{RC}} \] -
通过上式，我们发现：
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RC电路的电压响应为初始电压的指数规律衰减
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电路的固有响应是指无外部电源激励时电路自身的特性
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电路的时间常数是指电路响应表降到初始值的 \(\frac{1}{e}\) 或36.8%时所需要的时间。
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时间常数(\(\tau\))的表达式：
\[\tau =RC \]\[v(t)=V_{0}e^{-\frac{t}{\tau } } \] -
时间常数的性质：
- 每经过一个时间间隔 \(\tau\) ，其电压降低为前一个电压值的36.8%
- 时间常数越小，电压衰减的就越快
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计算无源RC电路的关键在于求出：
- 电容两端的初始电压v(0)= \(V_{0}\)
- 时间常数 \(\tau\)
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无源RL电路
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特点：电感电流不能突变
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当初始电流为 \(I_{0}\) 时，电感器中的相应储能为：
\[w(0)=\frac{1}{2}LI_{0}^2 \]
关于 i 的表达式推理同上，得出：
\[\tau=\frac{L}{R} \]\[i(t)=I_{0}e^{-\frac{Rt}{L}} \]\[i(t)=I_{0}e^{-\frac{t}{\tau}} \]
计算无源RL电路的关键是求出：
- 流过电感器的初始电流 i(0) = \(I_{0}\)
- 电路的时间常数 \(\tau\)
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奇异函数
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定义：
奇异函数是指本身不连续的函数，或者其导数不连续的函数。
常见的三个奇异函数：单位阶跃函数、单位冲击函数和单位斜升函数。
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单位阶跃函数u(t)
在自变量t为负值时，取值为0
在自变量t为正值时，取值为1。
单位阶跃函数可以表示电路中电压或电流的突变。
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单位阶跃函数的导数即单位冲激函数
\(\delta(t)\) 在t=0时刻之外处处为零，且在 t=0 时刻无定义
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单位阶跃函数的积分就是单位斜升函数
我不会用latex打大括号...
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RC电路的阶跃响应
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定义：
电路的阶跃响应是指激励电压源或激励电流源为阶跃函数时的响应
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推导：
对于上面的（b）图，我们运用KCL定律可得:
这就是假定电容器已经初始充电情况下，RC电路对突然施加的直流电压源的完全响应。
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全响应
全响应=固有响应（储能）+强迫响应（独立源）=瞬态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）
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瞬态响应是指随时间而消失的电路的暂态响应
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稳态响应是指外部激励作用于电路很长时间之后的电路的特性
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无论采用哪种研究方法，全响应均可写为：
\[v(t)=v(\infty)+[v(0)-v(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}} \] -
所以我们需要知道这三个值：
- 电容器两端的初始电压v(0)
- 电容器两端的最终电压\(v(\infty)\)
- 时间常数\(\tau\)
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焚诀：一旦知道了x(0)、x(\(\infty\))与 \(\tau\)。本章几乎所有的电路问题都可以用如下公式解决：
\[x(t)=x(\infty)+[x(0)-x(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}} \]
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RL电路的阶跃响应
- 采用电路响应=瞬态响应+稳态响应，推出表达式：\[i(t)=\frac{V_{s}}{R} +(I_{0}-\frac{V_{s}}{R} )e^{-\frac{t}{\tau }} \]
- 采用电路响应=瞬态响应+稳态响应，推出表达式：
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一阶运放电路
包含储能元件的运放电路会表现出一阶特征。
例题：
（这道题刚好有群友问过，分析一下）
在运放的章节中，我们知道，节点2,3电位要相同且都为0。
通过KCL，得到：
\[\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t }+\frac{v}{CR_{1}}=0 \]这个式子我们上面推过，最后得到：
\[v_{o}=-R_{f}C\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t } \]带入可得结果。