一、背景：从实数到高维数的追求
人类在数学史上不断尝试扩展“数”的概念：
- 实数 用于度量线上的长度；
- 复数 将数延伸到平面，引入虚数单位
i，满足 $ i^2 = -1 $。
哈密顿（William Rowan Hamilton）在 19 世纪中叶尝试将复数推广到 三维空间，希望找到一种“三维复数”来描述空间中的旋转与变换。
然而他发现：在三维空间中，如果要保持“数乘”的可逆性和封闭性，就无法同时保持乘法的交换律。
于是，哈密顿引入了第四个维度（一个独立的实部），构造出新的代数实体——四元数（Quaternion）：
$$A = \alpha + a i + b j + c k$$
其中 $ i, j, k $ 是三维空间的虚数单位，满足：
$$
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
$$
这套规则打破了“乘法交换律”的传统束缚，却形成了一个 内部一致（自洽） 的代数系统。
二、四元数乘法与矢量运算的诞生
当我们将四元数拆分为“实部”和“虚部”时：
$$
A = \alpha + \mathbf{r_A}, \quad B = \beta + \mathbf{r_B}
$$
四元数乘法定义为：
$$
AB = (\alpha\beta - \mathbf{r_A} \cdot \mathbf{r_B}) + (\alpha \mathbf{r_B} + \beta \mathbf{r_A} + \mathbf{r_A} \times \mathbf{r_B})
$$
在这个式子中，奇迹出现了：
- $-\mathbf{r_A} \cdot \mathbf{r_B}$：对应现代的 点乘（内积）；
- $\mathbf{r_A} \times \mathbf{r_B}$：对应现代的 叉乘（外积）。
💡 结论：
点乘与叉乘最初并不是人为定义的几何运算，而是四元数乘法自然分解出的结果。
点乘来源于四元数乘法的标量部分，叉乘来源于其矢量部分。
三、四元数的非交换性与公理创新
在四元数体系中，两个单位虚数的乘法结果依赖顺序：
$$
ij = k, \quad ji = -k
$$
这意味着：
$$
AB \neq BA
$$
这在当时是惊人的发现。它直接 挑战了自古以来算术中“乘法可交换”这一根本公理。
但哈密顿坚持：> “只要逻辑自洽、封闭完备，就可以成为新的代数体系。”
于是，“非交换代数”这一新的思想诞生了。
这种思想的影响极其深远：
- 矩阵代数 与 线性变换 的乘法是非交换的；
- 李群与李代数 的结构建立在非交换性上；
- 量子力学 中的算符（位置与动量）同样不满足交换律。
四、从四元数到矢量代数的抽象化
后来，人们从四元数代数中 抽离出虚部，形成独立的“三维矢量空间”：
$$
\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
定义：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
这些定义继承了四元数的几何意义：
- 点乘 衡量两个向量的夹角（投影关系）；
- 叉乘 衡量两向量张成的面积及其方向（右手法则）。
📘 因此：
现代的矢量代数实质上是四元数代数在三维空间中的「简化投影」。
五、公理自洽与数学勇气
四元数的诞生不仅创造了新运算，更重要的是：
“公理并非必须符合直觉，只要体系内部逻辑自洽，就可以成为新的数学世界。”
这开启了近代数学的公理化与抽象化道路：
- 希尔伯特提出“数学以公理为基础”；
- 罗素与怀特海在《数学原理》中形式化算术逻辑；
- 现代计算机科学的类型论与逻辑系统，皆建立在自洽公理体系之上。
四元数因此不仅是代数的里程碑，更是“思想上的解放”：
从“自然直觉的算术”走向“自洽逻辑的系统”。
六、结语：从代数到思想
点乘与叉乘看似只是物理工具，
实则是一次 代数学思想的结晶。
它们源自四元数这一非交换代数系统的结构分解，
见证了人类在数学上敢于打破旧公理、重建新体系的勇气。
从四元数到向量代数，
从交换律的打破到公理的自由——
这条道路本身，正是数学从经验到抽象、从直觉到逻辑的壮丽旅程。
[!quote] 摘要
四元数通过打破乘法交换律，建立了自洽的代数体系，从中自然分离出点乘与叉乘的规则。这一创新不仅奠定了现代矢量代数的基础，也推动了公理化与抽象化数学思想的发展。