复数
四种基本表示形式:代数、三角、向量(几何法)、指数(基本同三角)。
一个重要公式:\(|z|^2=z\cdot z(共轭)\)。
Trick 1:利用 \(-1=i^2\) 进行代数变形。Eg:\(z^2-2z+2=z^2-2z+1-i^2=(z-1)^2-i^2=(z-1+i)(z-1-i)\)。
经典题:\(\cos \frac{\pi}{2n+1}+...+\cos \frac{(2n-1)\pi}{2n+1}=1/2(:=A)\)。
证明:构造对偶式 \(B=2\pi...2n\pi\),诱导公式得 \(A+B=0\),而后根据单位根性质 \(2\pi + 4\pi + ... + 2n\pi + (2n+2)\pi+...+4n\pi+1=0\),即 \(2B+1=0\)。
旋转公式:tobeupd。
3 次单位根性质:\(w^2+w+1=0 \to w=\frac{\sqrt 3 i - 1}{2}\to w^2=w(共轭),w\cdot w(共轭)=1\)。
Trick 2:结合多项式、因式定理,可知 \(x^n-1=(x-1)(x-w)(x-w^2)...(x-w^{n-1})\),也有 \(x^{n-1}+...+x+1=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{n-1})\)。
不等式
tobeupd
球面换元:对于 \(x^2+y^2+z^2=1\),可作换元:\(x=\cos \theta,y=\sin\theta\cos\alpha,z=\sin\theta\sin\alpha\)。