感性理解高等代数学第四版 5.9 节。
定义
设 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 元多项式。若对任意 \(1\le i<j\le n\),都有 \(f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n)=f(x_1,\dots,x_j,\dots,x_i,\dots,x_n)\),则称 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 元对称多项式。
交换任意两个自变量后函数不变的多项式是对称多项式。
性质
显然若 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) 是对称的,那么对任意排列 \({p_n}\),\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x_{p_1},x_{p_2},\dots,x_{p_n})\)。
任意排列都可以由 \(1,2,\dots,n\) 经过若干次交换而来,排列的置换是若干交换的复合。
对称多项式的多项式仍是对称多项式。
每个对称多项式交换任意两个自变量后不变,故其多项式值也不变。
定义
对于 \(n\) 元的对称多项式,我们定义 \(n\) 元初等多项式:
\(\sigma_i\) 为所有 \(i\) 次且每个元最高次为 \(1\) 的单项式的和。
定理
设 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 元对称多项式,则存在 \(\mathbb{K}\) 上唯一的的一个多项式 \(g(y_1,y_2,\dots,y_n)\),使得:
感性理解其证明
(由于是感性理解,意图在于使其易懂,语言并不严谨)
首先看存在性。我们将 \(f\) 按照字典序排序并取首项 \(Ax_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\),可以知道 \(i_1\ge i_2\ge \dots \ge i_n\)。若不然,设 \(a<b\) 而 \(i_a<i_b\),由于是对称多项式,所以将 \(x_a,x_b\) 对换后就相当于存在一项将 \(i_a,i_b\) 对换得到的单项式,显然其字典序更大。
然后我们在 \(g\) 中加入一项 \(h=A\sigma_1^{i_1-i_2}\sigma_2^{i_2-i_3}\dots\sigma_{n-1}^{i_{n-1}-i_{n}}\sigma_n^{i_n}\),拆一个前缀和就知道这个式子按字典序排列首项就是 \(Ax_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\),然后把多的减掉得到 \(f'=f-h\),显然 \(f'\) 也是对称多项式。
由于每次都加入的是 \(\sigma\) 的多项式,所以这样构造的 \(g\) 是满足要求的,我们只需要证明操作一定会停止就好了。
可以发现,每次操作不会让 \(f\) 的次数增加,同时一定会让首项的字典序减小。而次数是有限的,那么次数的排列也是有限的,每次首项的字典序都减小,操作就一定会停止。而停止的时刻一定满足新的 \(f'=0\)(否则一定可以通过上述操作构造出新的 \(h\)),也就是此时的 \(g\) 满足要求。
然后是唯一性。如果 \(g\) 和 \(h\) 都满足要求,则 \(g(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)=h(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)\)。设 \(\varphi=g-h\),有 \(\varphi(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)=0\)。我们需要证明 \(\varphi=0\)。
用反证法,设 \(\varphi(y_1,y_2,\dots,y_n)\neq 0\),我们考虑单项式在带入后得到的首项,直接求字典序最大项的乘积,容易知道 \(A\sigma_1^{i_1}\sigma_2^{i_2}\dots\sigma_n^{i_n}=Ax_1^{i_1+\dots+i_n}x_2^{i_2+\dots+i_n}\dots x_n^{i_n}\),而不同的序列将有不同的后缀和,所有首项都不是同类项,所以 \(\varphi(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)\) 的首项一定是所有个首项中字典序最大的,由此其不为 \(0\),矛盾。因此 \(\varphi=0\)。