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高中数列梳理

upd.2025.10.3

高中数学中的数列

本文内容有:
\(1.数列意义\)
\(2.特殊数列(等差\&等比)\)
\(3.数列单调性\)
\(4.数列通项方法\)
\(5.数列求和方法\)
(以下待施工)
\(6.数列不等式\)
\(ex.差分算子方法\)

1.数列意义

数列(sequence of number)英文表示"数的序列",即一组数有顺序的排在一起,这是最本质的意义

高中的数列\(\{a_n\}\),是一个下标$ n \in N^* \(的一组数(1-index,在一些题目里会见到\)n \in N\(,即首项为\)a_0$的0-index)

从函数的视角来看,\(\{a_n\}\)是一个\(f(n),n\in N^*\)的值域,即离散函数的值域

因此研究数列的一种方法是从熟悉的连续函数入手,将定义域缩减至自然数集进行研究

对于数列表示,有三种方法

  1. 通项法:直接给出\(a_n = f(n)\)的式子
  2. 递推关系:告知\(x\)阶递推\(a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-x}),n\geq x+1\),且给出其\(a_1,a_2,...,a_x\)的值
  3. 图像法

2.特殊数列

等差数列(Arithmetic Progression)

以下简记\(AP\),英文译为 算数的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

AP的递推及其通项

书本基本定义为\(a_{n+1}-a_{n}=d\),\(d\)为常数,记作公差

移项可得到其一阶递推关系:\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

对于定义式\(a_{n+1}-a_n=d\) 进行如下操作:

\(\begin{cases} a_{n+1}-a_n=d \\ a_n-a_{n-1}=d \\\vdots\\a_3-a_2=d\\a_2-a_1=d \end{cases}\)
将上述式子全部相加,得到
\(a_{n+1}-a_1=nd\),即\(a_n=a_1+(n-1)d\)
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累加法

AP的性质

AP的性质与 \(“Arithmetic”\)息息相关。

我们知道,对于 x, y, z三个数,y是其等差中项,那么便有:
\(2y = x + z\)
整理可得:
\(y = \frac{x+z}{2}\),即\(y\)\(x,z\)算数平均数

对于AP,这个性质更加强大:
\(\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP\)
那么就有
\(a_n+a_m=a_p+a_q=2a_{\frac{n+m}{2}}\)
原因就在于其算术平均数
因此等差数列的核心就在于其最中间的那一项。
在AP部分后我们令\(a_{mid}表示a_{\frac{n+1}{2}}\)

求和:

\(S_n = \sum_{i=1}^n a_i, {a_n}成AP,求S_n通项\)

高斯使用倒序相加法进行求解
\(S_n = a_1 + a_2 + a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
\(S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2}+...+a_3+a_2+a_1\)
上下两式相加,得到
\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=na_{mid}\)
这就是等差数列求和公式,又称算术级数公式

对于等差数列的若干性质,用它的算数意义(\(a_{mid}\))都可以解决

等比数列(Geometric Progression)

以下简记\(GP\),英文译为 几何的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

GP的递推及其通项

书本定义为\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)
这个式子很危险,它有隐含条件: \(a_n \neq0,q\neq0\)
在判断GP的时候请一定注意这两个条件
整理可得通项式:\(a_{n+1}=qa_n\)

\(\begin{cases} \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \\ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\\\vdots\\ \frac{a_{3}}{a_2}=q\\\frac{a_{2}}{a_1}=q \end{cases}\)
将上述式子全部相乘,得到
\(a_{n+1}=a_1q^n\),即\(a_n=a_1q^{n-1}\)
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累乘法

累加法和累乘法的重要思想都是通过逆运算,将多数项转化为运算单位元

GP的性质

同样的,对于\(x,y,z\)成等比中项可以得到
\(y^2=xz\),可以得到当\(xz<0\)\(y\)为虚数,当\(xz>0\)时y有两根

取其正根\(y=\sqrt{xz},即y为xz的几何平均数\)

同样的,可以得到
\(\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP\)
那么就有
\(a_na_m=a_pa_q=a^2_{\frac{n+m}{2}}\)

你可以看作次数上成等差

不难发现GP的公比\(q\)十分神秘
\(q=1\)时,其为常数数列
\(q<0\)时,为摆动数列
\(0<|q|<1\)时,向x轴收敛

\(GP\)中,请注意其符号关系。

对于\({a_n}成GP\)
定义\(S_n=\sum^n_{i=1}a_i\),可以用错位相减法求通项
\(S_n=a_1+a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1}\)
\(qS_n= a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1} +a_1q^n\)
\(q\neq1\)时,将两式相减,得到
\(S_n=\frac{a_1-a_q}{1-q}\)
\(q=1\)时,易得
\(S_n=na_1\)
以上两个式子为等比数列求和公式,又称几何级数公式

3.数列的单调性

关于单调性的讨论,我们有以下几种方法:

  1. 对数列对应的连续函数求导,再对应到\(N^*\)
  2. 利用差分数列
  3. 图像法

比较简单,不过多赘述

4.数列通项

方法1. 累加法

若给出的\(k\)阶递推关系可以写做\(a_n-a_{n-1}-...-a_{n-k}=f(n)\),且\(f(n)\)易求和,则可以用累加法求和。

方法2. 累乘法

同方法1,但是形式不同
若给出的\(k\)阶递推关系可以写做\(\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)\),且\(f(n)\)易求积,则可以用累乘法求和。

方法3. 构造法

  • \(Case1:\)
    形如 \(a_n=pa_{n-1}+qn+k\),可以用待定系数\(a_n+xn+y=p[a_{n-1}-x(n-1)+y]\)列二元方程求解$
  • \(Case2:\)
    形如\(a_n=pa_{n-1}+f(n)\),可以同除以\(p^n\),得到\(\frac{a_n}{p^n}=\frac{a_{n-1}}{p^{n-1}}+\frac{f(n)}{p^{n-1}}\),对于\(\{\frac{a_n}{p^n}\}\)成AP进行求解
  • \(Case3:\)
    形如\(a_n=pa_{n-1}^q\),可以两边同时取对数,得到\(lna_n=qlna_{n-1}\),对于\(\{lna_n\}\)成GP进行求解
    此外,还有三角代换,分式代换等方法,不常考,这里不再赘述

方法4. 不动点法

解决形如\(a_n=\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}\)
对于方程\(x=\frac{ax+b}{cx+d}\)的根\(x_1,x_2\),我们称其为\(\{a_n\}\)的不动点。

\(x_1=x_2\)时,构造数列:
\(\frac{1}{a_n-x_1}=\frac{1}{a_{n-1}-x_1}+C\),带入\(a_1,a_2\)求出\(C\)的值即可
\(x_1 \neq x_2\),构造数列:
\(\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=C\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2}\),带入求出\(C\)即可
\(x_1,x_2\notin R\),但是\(x_1,x_2\)为单位根的形式,则\(a_n\)具有最小正周期,周期即为单位根对应的正整数

不动点法的原理为因式分解.

方法5. 特征方程(useless algorithm)

这个方法可以适用于所有k阶常系数线性齐次递推关系的求解,但是高中一般考察二阶,所以这里只叙述二阶。

对于二阶关系\(a_n=pa_{n-1}+qa_{n-1}\)
特征方程为\(x^2=px+q\),特征根\(\alpha,\beta\)为这两个方程的根

  • \(\alpha = \beta:\)
    \(a_n=[A\alpha+B(n-1)]\alpha^{n-1},A=\frac{a_1}{\alpha},B=\frac{a_2-a_1}{\alpha}\)
  • \(\alpha \neq \beta:\)
    \(a_n=A\alpha^n+B\alpha^n,A=\frac{a_2-\beta a_1}{(\alpha-\beta)\alpha},B=\frac{a_2-\alpha a_1}{(\alpha-\beta)\beta}\)
    事实上这个方法一般不会考。

5.数列求和

方法1.错位相减法

考的最多的,错误率也极高的
适用范围:等差乘等比的数列
\(a_n=b_nc_n,b_n为AP,c_n为GP,q为\{c_n\}公比,d为\{b_n\}公比\)
\(\sum_1^na_i=a_1+(b_2c_2+b_3c_3+...+b_nc_n)\)
\(q\sum^n_1a_i=(b_1c_2+b_2c_3+...+b_{n-1}c_n)+b_nc_{n+1}\)
上式减去下式得到:
\(\sum_1^na_i=\frac{a_1-d\sum^n_2c_i-b_nc_{n+1}}{(1-q)}\)

方法2.并项法

适用范围:平方/立方差求和
如:\(100^2-99^2+98^2-97^2+....+2^2-1^1\)
两两一组即为:\(\sum_1^{100}i=5050\)

方法3.倒序相加法

适用范围:可以很明显的发现数列首项和尾项有可求和关系
如:\(S=\sum^{100}_1iC^i_{100}\)
\(可以得到2S=\sum^{100}_0(iC^0_{100}+(100-i)C^{100}_{100})=100\sum^{100}_0C^i_{100}=100*2^{100}\)

方法4.裂项

常见裂项:
\(设a_n为等差,公差为d\)
\(\frac{k}{a_n(a_{n-1})}=\frac{k}{d}(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})\)
\(\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\)
不想写了自己搜去

如何判断能否列项?

使用Gosper裂项算法,如果实在不会裂项可以使用,但是请注意考试时间。

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=24490

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