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GJ Round 2025赛季

Round 1 (9.1)

A

给定正整数序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\),对于 \(\forall k \in [0,n] \cap \mathbb Z\),完成以下问题:

\(S \subseteq A = \{1,2,\cdots,n\}\),当且仅当存在一个集合 \(T \subseteq S\),满足 \(|T|=|S|-k\)\(\sum_{i \in T} a_i \geq m\),则称这样的集合 \(S\) 为合法的,求合法集合 \(S\) 的数量,对 \(998244353\) 取模。

\(n,m,a_i \leq 3 \times 10^3\)

考虑一个合法的 \(S\),那么 \(T\) 必然选最大的 \(|S|-k\) 个数,即需要除去前 \(k\) 小的数,使得剩下的数之和 \(\geq m\)

考虑将 \(a_i\) 从大到小排序做 01 背包,算出 \(f_i\) 表示必选 \(i\),选择若干干比 \(i\) 大的物品使其总和 \(\geq m\) 的方案数,\(k\) 即时枚举分界点 \(i\),从 \(i-1\) 个物品中选择 \(k\) 个的方案加起来,时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2+nm+n \log n)\)

B

给定一张随机生成\(^\dag\)\(n\) 个点、\(m\) 条边的无向简单联通图,结点标号为 \(1\)\(n\),其中 \(n\) 为终点,初始结点 \(1\)\(n-1\) 上均恰有 \(1\) 名玩家。

给出长度为 \(n-1\) 的排列 \(P\),第 \(i\) 轮在结点 \(P_i\) 的玩家会动身前往终点 \(n\),其他玩家不会移动,每经过一个存在其他玩家的结点,不稳定系数 \(X\) 会增加 \(1\),移动到 \(n\) 时玩家会消失,求所有玩家消失后,不稳定系数 \(X\) 的最小值。

\(n \leq 7.5 \times 10 ^4,n-1,m \leq 2n\)

随机生成\(^\dag\)的定义:先等概率随机生成一颗 \(n\) 个点、\(n-1\) 条边的树,然后(在不产生重边、自环的前提下)等概率随机添加 \(m-n+1\) 条边。

考虑使用最短路,选择从终点 \(n\) 开始跑最短路,注意到每位玩家跑到终点后,后面玩家经过该点对答案都不会产生贡献,即每次松弛距离都会减 \(1\),故每一次都可以从 \(P_i\) 开始动态更新 \(dis_i\)

注意到是随机的一棵树,直径期望为 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 级别的,考虑使用 SPFA 算法求解最短路,故时间复杂度为 \(\mathcal O(m \sqrt n)\)

(当然这题数据水到也可以使用暴力即 -O3 优化与 \(n\) 次的 Dijkstra 跑 \(\mathcal O(n^2 \log n)\) 最大点 3112 ms。)

C

P10681 [COTS 2024] 奇偶矩阵 Tablica

考虑只包含 \(0\)\(1\)\(N \times M\) 矩阵 \(A\),称满足以下条件的矩阵是好的:

  • \(\forall 1 \leq i \leq N,\sum_{j=1}^{M} A_{i,j} \in \{ 1,2 \}\)
  • \(\forall 1 \leq j \leq M,\sum_{i=1}^{N} A_{i,j} \in \{ 1,2 \}\)

\(N\)\(M\) 列好的矩阵数量,答案对 \((10^9+7)\) 取模,\(1 \leq N,M \leq 3 \times 10^3\)

神秘计数题。

考虑枚举 \(N\) 行中有 \(a\) 行和为 \(1\)\(b\) 行和为 \(2\);M 列中有 \(c\) 列和为 \(1\)\(d\) 列和为 \(2\)

因为 \(a+b=N,c+d=M,a+2b=c+2d\),只需枚举 \(a,b,c,d\) 中的其中一个即可,故枚举量为 \(\mathcal O(\min \{ N,M \})\)

转换题意可得,相当于将 \(M\) 种颜色的小球,\(c\) 种颜色各有一个小球,\(d\) 种颜色各有两个小球,将小球划分成 \(N\) 个大小不超过 \(2\) 的非空集合序列,满足同一个的球颜色互不相等。

\(c+2d\) 个球排成一个序列有 \(\frac{(c+2d)!}{2^d}\) 种,考虑如下问题:

  • \(\{1,1\}\) 这种两个元素的集合。
  • \(\{1,2\}\)\(\{2,1\}\) 两种分配方式算作同一种。

考虑对第一种方案容斥,对第二种方案乘上 \(2^-b\) 即可,钦定有 \(t\) 个集合一定被分配了相等的数,则:

\[\sum_{a+b=N,c+d=M,a+2b=c+2d}{n \choose b}{m \choose d}\sum_{t=0}^{\min(b,d)}(-1)^t{b \choose t}{d \choose t}t!\frac{(c+2d-2t)!}{2^{b+d-t}} \]

时间复杂度为 \(\mathcal O(\min\{N,M\}^2)\)

D

P11945 [KTSC 2025] 军事基地 / safezone

平面上有 \(n\) 个矩形。第 \(i\) 个矩形包含的点为 \(\{(x,y):x\in [A_i,C_i], y\in [B_i,D_i]\}\)。(点在矩形边界上,或者在矩形内部,都算包含。)

定义两个矩形相连,当且仅当存在一个点被这两个矩形同时包含。

定义两个矩形 \(a,b\) 连通,当且仅当存在一个长度为 \(k\)\(k\ge 1\))的序列 \(s_1,s_2,\ldots,s_k\)\(s_1=a,s_k=b\)),满足 \(\forall 1\le i\lt k\),都有 \(s_i\)\(s_{i+1}\) 相连。

定义矩形集合 \(S\)连通分量,当且仅当:

  • \(\forall i,j\in S\),都有 \(i,j\) 连通;
  • \(\forall i\in S,j\not\in S\),都有 \(i,j\) 不连通。

给定这 \(n\) 个矩形的信息,求出所有的连通分量。

  • \(1 \leq n \leq 5 \times 10^5\)
  • \(-10^9 \leq A_i,B_i,C_i,D_i \leq 10^9\)
  • \(A_i \leq C_i,B_i \leq D_i\)

咕咕咕。

Round 2 (9.4)

A

P13532 [OOI 2023] Buying gifts / 购买礼物 / CF1801B Buying gifts

\(n\) 家商店,在第 \(i\) 个商店进行如下操作之一

  • 为 A 买一个价值为 \(a_i\) 的商品;
  • 为 B 买一个价值为 \(b_i\) 的商品。

记 A 获取的商品价值最大为 \(m_1\),B 获取的商品最大的价值为 \(m_2\),求 \(\min |m_1-m_2|\)

多测\(1 \leq n \leq 2 \times 10^5,\sum n \leq 10^6,0 \leq a_i,b_i \leq 10^9\)

考虑先确定 \(m_1\),对 \(a_i\) 从大到小排序后枚举,钦定 \(m_1=a_i\),则前 \(i-1\) 个商品必然为 B 买,则对答案的贡献为 \(|a_i-\max_{j=1}^{i-1}b_j|\)

不难发现在 \([i+1,n]\) 中可能存在更优的 \(b_k,k \in [i+1,n]\),以当前 \(a_i\) 为基准找出最接近的 \(b_k\),对答案的贡献为 \(|a_i-b_k|\)

注意到可能会有 \(a_i=b_i\),考虑使用 multiset 而非 set 维护 \(b_i\),使用 \(\mathcal O(\log n)\)的 upper_bound 查找 \(b_k\),故单次询问时间复杂度 \(\mathcal O(n \log n)\),空间复杂度 \(\mathcal O(n)\)

B

P6583 回首过去

给定正整数 \(n\),求出有序整数对 \((x,y)\) 的个数,满足 \(1 \leq x \leq y \leq n\)\(\frac{x}{y}\) 可以表示为十进制有限小数,\(n \leq 10^{12}\)

不难得最终是一个 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 级别的复杂度,设分数为 \(\frac{ac}{bc}\),其中 \(2 \nmid c\)\(5 \nmid c,b=2^x \cdot 5^y,x,y \in \mathbb N^*\),考虑枚举 \(c\),则 \(a,b \leq \lfloor \frac{n}{c} \rfloor\),考虑使用整除分块加速枚举,时间复杂度 \(\mathcal O(\sqrt n)\),另外还有 \(b\) 的枚举量是 \(\mathcal O(\log^2 n)\) 级别的,这部分考虑预处理即可。

C

P10207 [JOI 2024 Final] 马拉松比赛 2 / Marathon Race 2

咕咕咕。

D

P10208 [JOI 2024 Final] 礼物交换 / Gift Exchange

咕咕咕。

Round 3 (9.6)

A

CF1497D Genius

现有 \(n\) 个问题从 \(1\)\(n\) 编号,第 \(i\) 个问题给出 \(c_i=2^i,tag_i,s_i\) 解决问题 \(i\) 后解决问题 \(j\) 的条件是 \(IQ<|c_i-c_j|\)\(tag_i \not= tag_j\)

在解决完问题 \(i\) 后解决问题 \(j\),你的 \(IQ\) 变为 \(IQ=|c_i-c_j|\),同时获得 \(|s_i-s_j|\) 分。问题解决的次数和顺序不受限制。一开始 \(IQ=0\),求最高可获得的分数。

多测,\(\sum n \leq 5 \times 10^3,tag_i \leq n,s_i \leq 10^9\),内存限制 32 MB。

神秘 dp 题,还有这意义不明的限制空间。

\(f_i\) 表示以 \(i\) 为结尾的路径的最大分数,路径要求 \(|c_i-c_j|\) 单调不降,按边权从小到大排序,转移方程为 \(f_v=\max\{f_v,f_u+|s_u-s_v|\}\)\(tag_u \not= tag_v\),空间复杂度为 \(\mathcal O(n^2)\),考虑寻找特殊性质。

注意到 \(c_i=2^i\),不难发现 \(\forall i,j \in [1,n]\)\(i \not= j,|c_i-c_j|\) 均不相等,那就不用把边存下来,直接枚举 \((i,j)\) 即可,即 \(i\)\(1\) 枚举到 \(n\)\(j\)\(i-1\) 枚举到 \(1\)\(f_i,f_j\) 相互更新其最大值,注意到 \(1\)\(i-1\)\(i\) 没有影响,可删去一维,空间复杂度降至 \(\mathcal O(n)\),时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2)\)

C

P11340 [COI 2019] TENIS

此题在 GJ Round 2024赛季 模拟赛 Round 32(11.21) C 题亦有记载。

D

P12445 [COTS 2025] 数好图 / Promet

Round 4 (9.11)

A

机房电脑是老古董,经常会递归爆栈,就是递归层数太多就报错了。所以机房电脑上不能运行正常的快速排序程序,而只能运行【伪快速排序】排序。

伪快速排序的代码如下:

int a[MAXN];
int partition(int l,int r){//这部分和快排相同int x = a[r],i = l;for(int j=l;j<r;j++){if(a[j] < x){swap(a[i],a[j]);++i;}}swap(a[i],a[r]);return i;
}
void Qsort(int l, int r, int h){if(l<r && h>1){int m = partition(1,r);Qsort(1,m-1,h-1);Qsort(m+1,r,h-1);}
}

给定正整数 \(n,k\),你想知道有多少个 \(1,2,\dots,n\) 的排列 \(a[1 \dots n]\) 在调用 Qsort(1,n,k) 之后能变成有序。

B

CF1975D Paint the Tree

又出上赛季出过的题是几个意思?

Round 5 (9.13)

B

AT_arc038_d [ARC038D] 有向グラフと数 & P12576 [UOI 2021] 数字图

C

Round 6 (9.22)

Round 7 (9.25)

Round 8 (9.27)

T4 上赛季绝对出过,还是 CF 原,甚至是绿题。

A

CF1984D "a" String Problem

D

CF1975D Paint the Tree

Round 9 (10.3)

后两题有点不是人做的了,太困难了。

A

CF1942C2 Bessie's Birthday Cake (Hard Version)

你有一个正 \(n\) 边形,顶点从 \(1\)\(n\) 顺时针编号,你可以选择沿着一些两个顶点都被选中的对角线分割图形,割线不能相交,已选定 \(x\) 个顶点 \(a_{1 \cdots x}\),希望再选至多 \(y\) 个顶点使得图形分割出的三角形数量最多。

多测,\(1 \leq T \leq 10^4,1 \leq a_i \leq n \leq 10^9,2 \leq x \leq \min\{n,2 \times 10^5\},0 \leq y \leq n-x,\sum x \leq 2 \times 10^5\)

钦定已选定\(x\) 个顶点当中,两个相邻顶点直接间隔的顶点个数记作 \(D\),考虑进行如下的分类讨论:

  • \(D\) 为偶数时,易得选一个点的贡献为 \(+2\)
  • \(D\) 为奇数时,同样易得选一个点的贡献为 \(+2\),特别地,当只剩最后三个点时,选其中点的贡献为 \(+3\)

考虑贪心,将奇数段的 \(D\) 从小到大排序统计贡献,剩余的 \(y\) 在偶数段上的贡献为 \(2y\),最后记得对 \(n-2\)\(\min\),时间复杂度 \(\mathcal O(n \log n)\)

B

P9737 [COCI 2022/2023 #2] Lampice

给定一个长为 \(n+1\)、宽为 \(m+1\) 的矩阵网格,左下角为 \((0,0)\),右上角为 \((n,m)\),有 \(k\) 对点 \(A_{1 \cdots k},B_{1 \cdots k}\),点均在格点上,问有多少个长宽至少\(2\) 的子矩阵,满足每对点要么同时在矩形内,要么同时在矩形外。

\(1 \leq n \leq 150,1 \leq m \leq 10^3,0 \leq k \leq 2 \times 10^5\)

考虑异或哈希和二维前缀异或和,这样判断一个子矩阵是否合法只需判断其异或和是否为 \(0\) 即可。

注意到 \(k\) 的值域较小哈希冲突的概率极大,考虑重新给每对点赋一个 \(64\) 位的随机数,用 mt19937_64 即可。

遍历所有子矩阵的时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2m^2)\),考虑如何降时间复杂度。

第一二维仍然枚举子矩阵的上下界 \(U,D\),处理每一个行在 \([U,D]\) 之间每一列的异或和 \(x_i\),区间 \([a,b]\) 合法当且仅当 \(x_a \oplus x_{a+1} \oplus \cdots \oplus x_b=0\),再次使用前缀异或和得到 \(s_i\),合法当且仅当 \(s_{a-1}=s_b\),相当于需要实现插入一个数与找与其相同的数的个数,使用哈希表等数据结构即可,时间复杂度 \(\mathcal O(n^2 m \log m)\)

C

P7830 [CCO 2021] Through Another Maze Darkly

D

P11947 [KTSC 2025] 可爱区间 / maxsum

Round 10 (10.4)

A

AT_abc304_f [ABC304F] Shift Table

小 A 和小 B 将在接下来的 \(N\) 天里做兼职。
小 A 的排班表由字符串 \(S\) 给出,\(S\) 的第 \(i\) 个字符为 # 时表示第 \(i\) 天上班,为 . 时表示第 \(i\) 天不上班。
基于此,小 B 按照如下方式制作了自己的排班表:

  • 首先,取 \(N\) 的一个正因数 \(M\),但 \(M \neq N\)
  • 接着,决定第 \(1\) 天到第 \(M\) 天的出勤情况。
  • 最后,依次对 \(i = 1, 2, \ldots, N - M\),令第 \(M + i\) 天的出勤情况与第 \(i\) 天相同。

需要注意的是,即使 \(M\) 的取值不同,最终得到的排班表也可能相同。

请计算,在 \(N\) 天中,每一天小 A 和小 B 至少有一人上班的情况下,青木君的排班表可能有多少种,结果对 \(998244353\) 取模。

\(2 \leq N \leq 10^5\)

注意到 \(d(n)_{\max}=128\),则显然可以枚举 \(n\) 的因数,再用 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度 check 即可。

通过模拟样例时不难发现,对于 \(x,y \in M \land x \mid y\)\(x\) 对答案的贡献必然与 \(y\) 中的贡献重复,故注意去重容斥统计答案即可,时间复杂度 \(\mathcal O(n d(n))\)

B

P3590 [POI 2015 R2] 三座塔 Three towers

给定一个长度为 \(n\) 的仅包含 \(\texttt{N,O,I}\) 三种字符的字符串,求找到最长的连续一段子串,要么只有一种字符,要么有多种字符且没有任意两种出现的字符出现次数相同。

\(n \leq 10^6\)

C

D

Round 11 (10.5)

A

B

P7831 [CCO 2021] Travelling Merchant

C

P10067 [CCO 2023] Real Mountains

D

Round 12 (10.7)

?紫黑黑,我请问了我打的是什么模拟赛。

A

你有 \(n\) 根木棍,从中选出 \(6\) 根组成一个正方形,要求木棍不能弯曲,求方案数。

\(n \leq 3 \times 10^3,a_i \leq 10^7\)

枚举边长 \(X\),只有形如 \(2211\)\(3111\) 两种形式,分别枚举即可:

  • \(2211\) 形:第一层一次枚举 \(a_i\) 作为边长,第二层用双指针 \(l,r\) 每次减少 \(r\) 的初始值依次枚举判断 \(a_l+a_r\) 是否与 \(a_i\) 相等,注意去重:

    • \(a_l \neq a_r\) 时,贡献为 \({cnt_{a_l} \choose 2} \times {cnt_{a_r} \choose 2}\)

    • \(a_l = a_r = \frac{a_i}{2}\) 时,贡献为 \({cnt_{a_l} \choose 4}\)

  • \(3111\) 形:第一层仍然枚举 \(a_i\) 作为边长,第二层枚举 \(x\),令 \(x+y+z=a_i\),则开一个桶标记 \(y+z\) 的方案数,则贡献为 \({cnt_{y+z}'\choose 3}\)

故时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2)\),空间复杂度为 \(\mathcal O(V)\)

B

P10299 [CCC 2024 S5] Chocolate Bar Partition

你有一块巧克力,共有 \(2 \times N\) 个小方块构成的,每个小方块可以表示为 \(2 \times N\) 的数组 \(T_{i,j}\),将整个巧克力分成若干个联通块,每个联通块的巧克力小方格的平均美味程度都相等,求可以将巧克力分成的最多联通块数量是多少。

\(N \leq 2 \times 10^5,0 \leq T_{i,j} \leq 10^8\)

将问题转化为,将所有数减去平均数后,分成最多的联通块使得每块和为 \(0\)

\(s_{i,j}=\sum_{x=1}^{j} a_{i,x}\) 表示第 \(i\) 行的前缀和数组,\(f_{i,j=0/1}\) 表示转移到第 \(i\) 列,不保证第 \(j\) 行的联通块权值和为 \(0\),记 \(k=j \oplus 1\) 即另一行,对于 \(f_{i,j}\)

首先保证 \(a_{i,k}\) 所在的联通块的权值和为 \(0\)

  • \(a_{i,j}\)\(a_{i,k}\) 一起接上前面一个不为 \(0\) 的联通块,即 \(f_{i,j} \gets \max \{ f_{i-1,0},f_{i-1,1} \}\)
  • 让另一行 \(k\) 连续一段数字 \((p,i]\) 单独成为一个联通块,则 \(f_{i,j} \gets \max_{p<j,s_{i,k}=s_{p,k}} \{ f_{p,j} \}\)
  • 让另一行 \(k\) 连续一段数字 \((p,i]\) 和前面不为 \(0\) 的联通块拼在一起组成一个和为 \(0\) 的联通块,即 \(f_{i,j} \gets \max_{p<j,s_{i,k}=s_{p,j}} \{ f_{p,k} \}\)
  • 注意特判当前 \(s_{i,0}+s_{i,1}=0\) 说明当前不保证为 \(0\) 的联通块会等于 \(0\),即 \(f_{i,j} \gets \max \{ f_{i,0},f_{i,1} \} + 1\)

中间两个转移用 map 或哈希维护即可,时间复杂度为 \(\mathcal O(n \log n)\)\(\mathcal O(n)\)

C

P9312 [EGOI 2021] Lanterns / 灯笼

D

P5642 人造情感(emotion)

Round 13 (10.8)

A

AT_arc132_d [ARC132D] Between Two Binary Strings

给定 \(n,m\),以及两个由 \(n\)\(0\)\(m\)\(1\) 组成的字符串 \(s_1,s_2\)。记 \(f(s_1,s_2)\) 表示通过交换 \(s_1\) 中相邻的两个字符,变成 \(s_2\) 的最小交换次数。

对于由 \(n\)\(0\)\(m\)\(1\) 组成的字符串 \(s\),记 \(g(s)=\sum_{i=1}^{n+m-1} [s_i=s_{i+1}]\),即相邻字符相同的位置数,求最大的 \(g(s_3)\) 满足 \(f(s_1,s_2)=f(s_1,s_3)+f(s_3,s_2)\)

\(0 \leq n,m \leq 3 \times 10^5,n+m \geq 1\)

钦定 \(s_1\) 中第 \(i\)\(1\) 的位置为 \(x_i\)\(s_2\) 中第 \(i\)\(1\) 的位置为 \(y_i\)\(s_3\) 中第 \(i\)\(1\) 的位置为 \(z_i\),则不难发现:

\[f(s_1,s_2)=f(s_1,s_3)+f(s_3,s_2) \iff \forall i \in [1,n+m],\min\{x_i,y_i\} \leq z_i \leq \max\{x_i,y_i\} \]

注意到要使 \(g(s_3)\) 最大应尽可能将相同的数字放在一起,考虑贪心地将每个 \(1\) 放在对应的区间靠后的位置。

特殊情况:

111100
011110

注意到按上面贪心会得到的 011110 不是最优的,考虑将第一个 \(1\) 放在区间的靠前面,后面的 \(1\) 仍是按照如上贪心即可,时间复杂度为 \(\mathcal O(n+m)\)

B

P6294 [eJOI 2017] 游戏

\(\text{Alice}\)\(\text{Bob}\) 在玩一个游戏。游戏中有 \(n\) 个数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\),他们会玩 \(m\) 轮,每轮游戏如下:

  • 给出一个整数 \(p\),满足 \(p \in [1,n]\)
  • \(S\)\(a_1,a_2,\dots,a_{p-1}\) 构成的多重集
  • \(\text{Alice}\)\(\text{Bob}\) 轮流取数,即当前玩家取出数后,另一个玩家成为下一个“当前玩家”。
  • 依次往 \(S\) 加入 \(a_p,a_{p+1},\dots,a_n\),每加一个数,当前玩家取出 \(S\) 中的一个数。
  • 加入完后,两人继续取数,直到 \(S\) 为空。
  • 其中 \(\text{Alice}\) 第一个取数。\(\text{Alice}\)\(\text{Bob}\) 都想让自己取的数字总和尽量大,他们都绝顶聪明,求最后 \(\text{Alice}\) 取的数字总和。

\(3 \leq n \leq 10^5,1 \leq m \leq 10^3,1 \leq a_i \leq 10^9\)

不难证明当前玩家取出的数一定是 \(S\) 中的最大值,用一个堆来维护,时间复杂度 \(\mathcal O(nm \log n)\),考虑优化。

注意到值域较大,考虑对每个数进行离散化,然后把 \(a_i\) 存入一个 \(vis\) 数组中,记录每个数的状态。

又因为每次都是取最大的数,所以每次加入一个数与之前的最大值比较,若加入的数更大,直接减去该值,否则在 \(vis\) 数组中记录该数,并减去最大值。

注意到最大值单调不升,故时间复杂度为 \(\mathcal O(nm)\)

C

AT_arc119_f [ARC119F] AtCoder Express 3

D

P9058 [Ynoi2004] rpmtdq & P9678 [ICPC 2022 Jinan R] Tree Distance

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=26971

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