1. 理论基础
频散曲线描述了波在介质中传播时,相速度(Phase Velocity)和群速度(Group Velocity)随频率或频厚积(Frequency-Thickness Product)的变化关系。
- 相速度:单一频率波的相位传播速度,公式为 \(v_p=\frac{ω}{k}\)
- 群速度:波包能量传播速度,公式为 \(v_g=\frac{d_ω}{d_k}\) 频厚积:\(FT=f⋅d\),是分析板结构中导波传播特性的关键参数。
2. MATLAB实现步骤
2.1 参数定义
% 材料参数
E = 210e9; % 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3; % 泊松比
rho = 7850; % 密度 (kg/m³)
c_L = sqrt(E*(1-nu)/(rho*(1+nu)*(1-2*nu))); % 纵波速度
c_S = sqrt(E/(2*(1+nu)*rho)); % 横波速度% 频率与厚度范围
f = linspace(0, 500e3, 1000); % 频率范围 (0-500 kHz)
d = 0.01; % 钢板厚度 (m)
FT = f * d; % 频厚积
2.2 频散方程求解(以Lamb波为例)
% 定义Lamb波频散方程(以S0模态为例)
function omega = lamb_dispersion(FT, c_L, c_S)k = 2*pi*f / c_L; % 波数beta = sqrt(k.^2 - (pi/d).^2); % 衰减系数omega = beta .* k; % 角频率解
end% 计算相速度
v_p = omega ./ k;% 计算群速度(数值微分法)
dv_p_dk = gradient(v_p, k);
v_g = v_p + k .* dv_p_dk;
2.3 多模态分析(S0/A0模态)
% 定义不同模态的频散方程
modes = {@lamb_dispersion, @anti_symmetric_dispersion}; % 需自定义反对称模态函数% 绘制多模态曲线
figure;
hold on;
for i = 1:numel(modes)[v_p, v_g] = modes{i}(FT, c_L, c_S);plot(FT, v_p, 'DisplayName', ['S0模态相速度']);plot(FT, v_g, '--', 'DisplayName', ['S0模态群速度']);
end
hold off;
xlabel('频厚积 (Hz·m)');
ylabel('速度 (m/s)');
legend;
3. 关键算法优化
3.1 极小值法求解频散方程
function [omega, k] = find_dispersion_minima(FT, c_L, c_S)% 初始猜测值k0 = 2*pi*f / c_L;omega0 = 2*pi*f;% 使用fminsearch寻找极小值点options = optimset('Display','off');[k, ~] = fminsearch(@(k) abs(lamb_dispersion(k, c_L, c_S) - omega0), k0);omega = lamb_dispersion(k, c_L, c_S);
end
3.2 并行计算加速
% 使用parfor加速多频率计算
parfor i = 1:numel(f)[v_p(i), v_g(i)] = lamb_dispersion(FT(i), c_L, c_S);
end
4. 高级功能实现
4.1 交互式参数调整
% 使用GUIDE创建交互界面
f_slider = uicontrol('Style','slider','Min',0,'Max',500e3, ...'Value',250e3,'Position',[20 20 200 20],...'Callback',{@update_plot, d, c_L, c_S});function update_plot(src, event, d, c_L, c_S)f = src.Value;FT = f * d;% 重新计算并更新曲线
end
4.2 三维频散曲面
% 三维参数空间可视化
[FT_mesh, f_mesh] = meshgrid(linspace(0,500e3,100), linspace(0,500e3,100));
v_p = arrayfun(@(ft) lamb_dispersion(ft, c_L, c_S), FT_mesh);
surf(f_mesh, FT_mesh, v_p);
xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('频厚积 (Hz·m)'); zlabel('相速度 (m/s)');
参考代码 MATLAB频散曲线绘制,相速度,群速度 www.youwenfan.com/contentcna/65890.html
5. 性能优化策略
-
向量化计算:避免使用循环,利用MATLAB矩阵运算加速
-
GPU并行:对大规模计算使用
gpuArray
FT_gpu = gpuArray(FT); [v_p_gpu, v_g_gpu] = arrayfun(@(ft) lamb_dispersion(ft, c_L, c_S), FT_gpu);
-
内存预分配:提前定义数组大小减少动态扩展开销
6. 扩展应用场景
场景 | 关键参数 | 分析方法 |
---|---|---|
管道腐蚀检测 | 周向模态(T0模态) | 相速度频移分析 |
复合材料层板 | 各向异性频散特性 | 多层模型求解 |
地震波勘探 | 瑞利波相速度 | 地表波场反演 |
7. 常见问题解决
- 模态混叠:采用短时傅里叶变换(STFT)分离不同模态
- 噪声干扰:使用小波降噪预处理信号
- 计算不收敛:调整初始猜测值或改用Levenberg-Marquardt算法