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MPC模型预测控制:原理、设计与MATLAB实现

模型预测控制是一种先进的控制策略,特别适用于处理多变量约束控制问题。

1. MPC基本原理与核心思想

1.1 基本概念

MPC采用滚动优化反馈校正的策略:

  • 预测模型:使用系统数学模型预测未来动态
  • 优化求解:在每个采样时刻求解有限时域优化问题
  • 滚动实施:只实施当前时刻的控制量,下一时刻重新优化

1.2 MPC优势特点

  • 直接处理多变量系统
  • 显式处理约束(输入、输出、状态约束)
  • 适用于非最小相位系统、大时滞系统
  • 直观易懂,工程易接受

2. MPC数学 formulation

2.1 基本优化问题

\(min J = ∑‖y(k+i|k) - r(k+i)‖²_Q + ∑‖Δu(k+i|k)‖²_R\)

满足:

\(x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)\)
\(y(k) = Cx(k)\)
\(u_min ≤ u(k) ≤ u_max\)
\(Δu_min ≤ Δu(k) ≤ Δu_max\)
\(y_min ≤ y(k) ≤ y_max\)

2.2 预测方程推导

对于状态空间模型:

% 预测方程构建
function [Y, U] = buildPredictionMatrices(A, B, C, Np, Nc)% Np: 预测时域, Nc: 控制时域n = size(A,1);  % 状态维度m = size(B,2);  % 输入维度p = size(C,1);  % 输出维度% 构建预测矩阵F = zeros(p*Np, n);Phi = zeros(p*Np, m*Nc);for i = 1:Np% 输出预测矩阵F((i-1)*p+1:i*p, :) = C * A^i;for j = 1:min(i,Nc)% 控制作用矩阵Phi((i-1)*p+1:i*p, (j-1)*m+1:j*m) = C * A^(i-j) * B;endend
end

3. MATLAB MPC工具箱使用

3.1 系统建模与MPC控制器创建

%% MPC控制器设计示例
clear; close all; clc;% 1. 定义系统模型(离散状态空间)
Ts = 0.1; % 采样时间
A = [1, Ts; 0, 1];
B = [0.5*Ts^2; Ts];
C = [1, 0];
D = 0;
sys = ss(A, B, C, D, Ts);% 2. 创建MPC控制器
mpcobj = mpc(sys, Ts);% 3. 设置MPC参数
mpcobj.PredictionHorizon = 20;    % 预测时域
mpcobj.ControlHorizon = 3;        % 控制时域
mpcobj.Weights.OutputVariables = 1;   % 输出权重
mpcobj.Weights.ManipulatedVariablesRate = 0.1; % 控制变化权重% 4. 设置约束
mpcobj.MV.Min = -2;      % 控制量下限
mpcobj.MV.Max = 2;       % 控制量上限
mpcobj.MV.RateMin = -1;  % 控制变化率下限
mpcobj.MV.RateMax = 1;   % 控制变化率上限
mpcobj.OV.Min = -10;     % 输出下限
mpcobj.OV.Max = 10;      % 输出上限% 5. 显示控制器信息
display(mpcobj);

3.2 仿真验证

%% MPC闭环仿真
Tf = 10;        % 仿真时间
Tsteps = Tf/Ts; % 仿真步数% 参考信号
r = 5 * ones(Tsteps, 1);
% 在中间时刻改变参考值
r(floor(Tsteps/2):end) = 2;% 初始化
y = zeros(Tsteps, 1);
u = zeros(Tsteps, 1);
x = zeros(2, Tsteps);% 创建仿真选项
options = mpcsimopt();
options.unmeas = [];     % 无不可测扰动
options.inputnoise = []; % 无输入噪声
options.outputnoise = 0.01 * randn(Tsteps,1); % 输出噪声% 运行仿真
[Y, T, U, X] = sim(mpcobj, Tsteps, r, [], options);% 绘制结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);subplot(2,2,1);
plot(T, Y, 'b-', T, r, 'r--', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间 (s)'); ylabel('输出');
title('系统输出 vs 参考信号');
legend('输出', '参考', 'Location', 'best');
grid on;subplot(2,2,2);
plot(T, U, 'g-', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间 (s)'); ylabel('控制量');
title('控制输入');
grid on;subplot(2,2,3);
plot(T, X(:,1), 'm-', T, X(:,2), 'c-', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间 (s)'); ylabel('状态');
title('系统状态');
legend('状态1', '状态2', 'Location', 'best');
grid on;subplot(2,2,4);
error = r - Y;
plot(T, error, 'r-', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间 (s)'); ylabel('误差');
title('跟踪误差');
grid on;

4. 手动实现MPC算法

4.1 QP问题 formulation

function [u_opt, cost] = mpcQP(A, B, C, x0, Np, Nc, Q, R, S, umin, umax, dumin, dumax, ymin, ymax, r)% MPC QP求解器% A,B,C: 系统矩阵% x0: 当前状态% Np: 预测时域, Nc: 控制时域% Q,R,S: 权重矩阵% 约束: umin, umax, dumin, dumax, ymin, ymax% r: 参考轨迹n = size(A,1); m = size(B,2); p = size(C,1);% 构建预测矩阵[F, Phi] = buildPredictionMatrices(A, B, C, Np, Nc);% QP问题: min 0.5*U'*H*U + f'*UH = Phi' * kron(eye(Np), Q) * Phi + kron(eye(Nc), R);f = (F*x0 - r)' * kron(eye(Np), Q) * Phi;% 控制增量约束: ΔU = U - U_prevA_delta = [];b_delta = [];for k = 1:Ncif k == 1A_delta = [A_delta; eye(m), zeros(m, (Nc-1)*m)];b_delta = [b_delta; dumax; -dumin];elsetemp = [zeros(m, (k-1)*m), eye(m), -eye(m), zeros(m, (Nc-k)*m)];A_delta = [A_delta; temp];b_delta = [b_delta; dumax; -dumin];endend% 输出约束A_y = Phi;b_y_max = ymax - F*x0;b_y_min = -(ymin - F*x0);% 控制量约束A_u = kron(eye(Nc), eye(m));b_u_max = umax;b_u_min = -umin;% 合并约束A_ineq = [A_delta; A_y; -A_y; A_u; -A_u];b_ineq = [b_delta; b_y_max; b_y_min; b_u_max; b_u_min];% 求解QPoptions = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');U_opt = quadprog(H, f', A_ineq, b_ineq, [], [], [], [], [], options);u_opt = U_opt(1:m);  % 只取第一个控制量cost = 0.5*U_opt'*H*U_opt + f*U_opt;
end

4.2 完整MPC仿真

%% 手动MPC实现 - 完整仿真
function manualMPCSimulation()% 系统参数Ts = 0.1;A = [0.8, 0.2; -0.1, 0.9];B = [0.5; 0.8];C = [1, 0];sys = ss(A, B, C, 0, Ts);% MPC参数Np = 15;    % 预测时域Nc = 3;     % 控制时域Q = 10;     % 输出权重R = 0.1;    % 控制权重% 约束umin = -2; umax = 2;dumin = -1; dumax = 1;ymin = -5; ymax = 5;% 仿真参数Tf = 10;Nsim = Tf/Ts;t = (0:Nsim-1)' * Ts;% 参考信号r = 3 * ones(Nsim, 1);r(floor(Nsim/3):floor(2*Nsim/3)) = 1;% 初始化x = zeros(2, Nsim);y = zeros(Nsim, 1);u = zeros(Nsim, 1);u_prev = 0;% MPC主循环for k = 1:Nsim-1% 获取当前状态(假设全状态可测)x_current = x(:, k);% 构建参考轨迹r_traj = r(k:min(k+Np-1, Nsim));if length(r_traj) < Npr_traj = [r_traj; r_traj(end)*ones(Np-length(r_traj),1)];end% 求解MPC问题[u_opt, cost] = mpcQP(A, B, C, x_current, Np, Nc, Q, R, 0, ...umin, umax, dumin, dumax, ymin, ymax, r_traj);% 实施控制u(k) = u_opt;% 系统仿真x(:, k+1) = A * x(:, k) + B * u(k);y(k+1) = C * x(:, k+1);% 添加过程噪声(可选)% x(:, k+1) = x(:, k+1) + 0.01 * randn(2,1);end% 绘制结果plotMPCResults(t, y, u, r, x');
endfunction plotMPCResults(t, y, u, r, x)figure('Position', [100, 100, 1200, 600]);subplot(2,2,1);plot(t, y, 'b-', t, r, 'r--', 'LineWidth', 2);xlabel('时间 (s)'); ylabel('输出');title('MPC控制: 输出跟踪');legend('输出', '参考', 'Location', 'best');grid on;subplot(2,2,2);plot(t, u, 'g-', 'LineWidth', 2);xlabel('时间 (s)'); ylabel('控制量');title('控制输入');grid on;subplot(2,2,3);plot(t, x(:,1), 'm-', t, x(:,2), 'c-', 'LineWidth', 2);xlabel('时间 (s)'); ylabel('状态');title('系统状态');legend('状态1', '状态2', 'Location', 'best');grid on;subplot(2,2,4);error = r - y;plot(t, error, 'r-', 'LineWidth', 1);xlabel('时间 (s)'); ylabel('误差');title('跟踪误差');grid on;
end

5. 非线性MPC实现

5.1 非线性系统MPC

%% 非线性MPC示例 - 倒立摆控制
function nonlinearMPCExample()% 倒立摆参数M = 1.0;    % 小车质量m = 0.1;    % 摆杆质量  l = 0.5;    % 摆杆长度g = 9.81;   % 重力加速度% 离散化参数Ts = 0.05;Tf = 5;Nsim = Tf/Ts;% MPC参数Np = 20;Nc = 3;Q = diag([10, 1, 10, 1]);  % 状态权重R = 0.1;                   % 控制权重% 初始状态 [x, x_dot, theta, theta_dot]x0 = [0; 0; pi-0.1; 0];  % 接近直立位置x = zeros(4, Nsim);x(:,1) = x0;% 参考状态(直立位置)x_ref = [0; 0; pi; 0];% 控制约束u_min = -20; u_max = 20;% 非线性MPC主循环options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'off', ...'Algorithm', 'sqp');for k = 1:Nsim-1% 当前状态x_current = x(:, k);% 求解非线性MPCu_opt = solveNonlinearMPC(@pendulumDynamics, x_current, x_ref, ...Np, Nc, Ts, Q, R, u_min, u_max, options);% 系统仿真(使用Runge-Kutta)[~, x_traj] = ode45(@(t,x) pendulumDynamics(x, u_opt), ...[0, Ts], x_current);x(:, k+1) = x_traj(end, :)';end% 绘制结果plotPendulumResults((0:Nsim-1)*Ts, x, u_opt*ones(1,Nsim));
endfunction dx = pendulumDynamics(x, u)% 倒立摆非线性动力学M = 1.0; m = 0.1; l = 0.5; g = 9.81;theta = x(3);dtheta = x(4);F = u;% 动力学方程denom = M + m*sin(theta)^2;dx1 = x(2);dx2 = (F + m*sin(theta)*(l*dtheta^2 + g*cos(theta))) / denom;dx3 = x(4);dx4 = (-F*cos(theta) - m*l*dtheta^2*cos(theta)*sin(theta) - (M+m)*g*sin(theta)) / (l*denom);dx = [dx1; dx2; dx3; dx4];
endfunction u_opt = solveNonlinearMPC(dynamics, x0, x_ref, Np, Nc, Ts, Q, R, u_min, u_max, options)% 非线性MPC求解器% 初始猜测U0 = zeros(Nc, 1);% 优化问题costFunc = @(U) nonlinearCost(U, dynamics, x0, x_ref, Np, Nc, Ts, Q, R);% 约束A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];lb = u_min * ones(Nc, 1);ub = u_max * ones(Nc, 1);% 求解U_opt = fmincon(costFunc, U0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);u_opt = U_opt(1);
endfunction J = nonlinearCost(U, dynamics, x0, x_ref, Np, Nc, Ts, Q, R)% 非线性MPC代价函数J = 0;x = x0;for k = 1:Npif k <= Ncu = U(k);elseu = U(end);  % 控制时域外保持最后值end% 非线性仿真一步[~, x_traj] = ode45(@(t,x) dynamics(x, u), [0, Ts], x);x = x_traj(end, :)';% 累积代价J = J + (x - x_ref)' * Q * (x - x_ref) + u' * R * u;end
end

6. 实际应用考虑

6.1 抗扰与鲁棒性

%% 鲁棒MPC设计考虑
function robustMPCDesign()% 1. 干扰估计与补偿% 使用扰动观测器function d_est = disturbanceObserver(x, u, x_prev, A, B, L)x_pred = A * x_prev + B * u;d_est = L * (x - x_pred);end% 2. 软约束处理function cost = softConstraintsCost(epsilon, weight)% 对输出约束添加松弛变量cost = weight * sum(epsilon.^2);end% 3. 终端约束与代价function addTerminalConstraints()% 保证闭环稳定性% 方法: 终端代价函数、终端约束集end
end

6.2 实时实现考虑

%% 实时MPC实现技巧
function realTimeMPCTips()% 1. 显式MPC(离线计算)% 将MPC控制律预先计算为分段仿射函数% 2. 热启动优化% 使用上一时刻解作为初始猜测% 3. 简化模型% 使用降阶模型或线性参数变化模型% 4. 异步MPC% 根据系统动态调整MPC更新频率
end

7. MPC性能分析

7.1 稳定性与鲁棒性分析

%% MPC性能分析工具
function MPCAnalysis()% 1. 闭环极点分析% 计算MPC控制下的系统极点% 2. 灵敏度分析% 分析模型失配对性能的影响% 3. 约束激活分析% 统计约束激活频率和程度% 4. 计算负荷分析% 评估实时计算需求
end

参考代码 MPC模型预测控制 www.youwenfan.com/contentcnj/65398.html

总结

MPC的核心优势在于其处理多变量约束控制问题的能力。通过MATLAB实现时:

关键设计步骤

  1. 系统建模:获得准确的预测模型
  2. 参数整定:调整预测时域、控制时域和权重
  3. 约束设置:合理设置物理约束
  4. 实时优化:选择高效的优化算法

MATLAB工具选择

  • MPC工具箱:适合快速原型开发和工业应用
  • 手动实现:适合研究、教育和特殊需求
  • 非线性MPC:适合复杂非线性系统

实际应用提示

  • 从简单模型开始,逐步增加复杂性
  • 仔细验证约束的可行性
  • 考虑计算实时性要求
  • 加入适当的鲁棒性措施
http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=31653

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