好的,我们来逐步解决这个问题。已知方程组:
[
\begin{cases}
y + r = (r + \Delta r) \cos\theta \
x = (r + \Delta r) \sin\theta
\end{cases}
]
我们需要用 (x)、(y)、(r) 表示 (\theta) 和 (\Delta r)。以下是详细推导过程:
步骤 1:引入辅助变量
设 (A = r + \Delta r),则方程组变为:
[
\begin{cases}
y + r = A \cos\theta \quad \text{(1)} \
x = A \sin\theta \quad \quad \quad \text{(2)}
\end{cases}
]
步骤 2:平方后相加消去 (A)
将方程 (1) 和 (2) 分别平方后相加:
[
(y + r)^2 + x^2 = A^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = A^2
]
因此:
[
A = \sqrt{(y + r)^2 + x^2}
]
步骤 3:解出 (\Delta r)
由 (A = r + \Delta r),代入上式得:
[
\Delta r = A - r = \sqrt{(y + r)^2 + x^2} - r
]
步骤 4:解出 (\theta)
利用方程 (1) 和 (2) 的比值:
[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x}{y + r}
]
因此:
[
\theta = \arctan\left( \frac{x}{y + r} \right)
]
但为了正确确定角度的象限(即考虑 (x) 和 (y + r) 的符号),建议使用 atan2 函数:
[
\theta = \arctan2\left( x, \ y + r \right)
]
其中:
- (\arctan2(y, x)) 是标准的四象限反正切函数,返回 (-\pi) 到 (\pi) 之间的角度。
最终解
[
\boxed{
\begin{aligned}
\theta &= \arctan2\left( x, \ y + r \right), \
\Delta r &= \sqrt{(y + r)^2 + x^2} - r.
\end{aligned}
}
]
注意事项
-
数值稳定性:
- 当 (x) 和 (y + r) 都接近 0 时,(\theta) 可能无定义(此时方程组可能无解或有无穷解)。
- 当 (y + r) 或 (x) 的值非常小时,需注意浮点数计算的精度问题。
-
几何意义:
- (A = \sqrt{(y + r)^2 + x^2}) 表示点 ((x, y + r)) 到原点的距离。
- (\Delta r) 是 (r) 的增量,可能为正或负。
-
单位:
- (\theta) 的单位是弧度(与 C++ 的
sin
和cos
函数一致)。
- (\theta) 的单位是弧度(与 C++ 的
如果需要进一步简化或验证结果,可以代入具体数值进行计算。