线性DP
今日 \(2025.10.22\)，距 \(CSP-J/\) \(9\)天，\(NOIP\) \(37\) 天
昨天把最短路爆切了，但发现自己的 \(DP\) 还是太弱了，所以我决定 \(CSP\) 剩下的这几天练练 \(DP\)。自己没系统的学过 \(DP\)，所以决定从最基础的 线性 \(DP\) 开始学
在这里吐槽一句：DP黄题都比最短路的蓝题难（个人感觉）
总结一下线性DP的几种常见类型：
1.最长上升子序列
2.数塔
3.其他
最长上升子序列：
luogu B3637 最长上升子序列
板题，直接放代码：
时间复杂度：\(O(n^2)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,a[N],f[N],ans;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}ans=max(ans,f[i]);}cout<<ans;return 0;
}
还有 \(O(nlogn)\) 的贪心做法：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,len,q[N];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int k;cin>>k;if(len==0||k>q[len-1]) q[len++]=k;else{int x=lower_bound(q,q+len,k)-q;q[x]=k;}}cout<<len;return 0;
}
当然，还可以用权值线段树优化什么的，但本文不讨论 \(DP\) 的优化，以上这个 \(O(nlogn)\) 的贪心在后文直接使用了（有更优的复杂度当然要学）
luogu P1091 [NOIP 2004 提高组] 合唱队形
本题只需正反分别求一次最长上升子序列，正向为 \(f[i]\) 反向为 \(g[i]\)，最后 \(max(f[i]+g[i])\) 即为答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
int n,f[N],g[N],a[N],ans;
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}}for(int i=n;i;i--){g[i]=1;for(int j=n;j>i;j--){if(a[i]>a[j]) g[i]=max(g[i],g[j]+1);}}for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]+g[i]-1);cout<<n-ans;return 0;
}
luogu P2285 [HNOI2004] 打鼹鼠
本题开始都是通过巧妙转换变为最长上升子序列的题，有几类常见转换方法，在后面几道题中会一一体现
根据题意：第 \(i\) 只鼹鼠只会在 \(t_i\) 时出现，如果在此时刻没打死它，在下一时刻它就会消失，并且，在 \(t_i\) 之前鼹鼠不会出现，是打不到的。
首先，有一个易发现的性质：初始时刻站到某一只鼹鼠的坑位上，结果一定不比初始时在空白坑位差。很好理解，我直接站到坑位上，就省去了到第一只鼹鼠坑位所移动的时间。
接着，对于其中两只鼹鼠，只有时间到下一只鼹鼠出现的时候，才能打它，导致我就算提前到了下一只鼹鼠的坑位，也得等到它出现的时刻，才能打死下一只鼹鼠，这对于打死下下只鼹鼠来说，时间差就不会因为提前到下一只鼹鼠而改变。所以，对于任意两只鼹鼠，记两只鼹鼠的曼哈顿距离为 \(d\)，时间之差为 \(\Delta t\)，不难发现只有当 \(d≤\Delta t\) 时，才能打死下一只鼹鼠
不难发现，这里的 \(d≤\Delta t\) 和最长上升子序列的板题中的决策很像（事实上就是一样的），所以，这道题其实就转换成了，类似于求最长上升子序列的题（注意，题目保证了每只鼹鼠的出现时间是递增的，所以按出现时间排序，否则还得按出现时间排序)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int s,n,f[N],ans;
struct mouse{int t,x,y;
}m[N];
int d(int x1,int y1,int x2,int y2){return abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>s>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>m[i].t>>m[i].x>>m[i].y;for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(m[i].t-m[j].t>=d(m[i].x,m[i].y,m[j].x,m[j].y)) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}ans=max(ans,f[i]);}cout<<ans;return 0;
}
luogu P2782 友好城市
直接说思路：
记第 \(i\) 对两岸的城市编号分别为 \(a[i]\)，\(b[i]\)
先把每对城市按 \(a[i]\) 升序排序，不难发现，如果我选了 第 \(i\) 对城市，那么如果要选第 \(j\) 对城市(\(j>i\))，必须要 \(b[j]>b[i]\)，否则就会有交叉，就不可以批准了。到这里都已经成了 \(LIS\) 裸题了
代码：
//本题n为2e5，所以用贪心法求LIS
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define x first
#define y second
const int N=2e5+5;
int n,q[N],len;
pair<int,int>p[N];
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;sort(p+1,p+1+n);for(int i=1;i<=n;i++){if(len==0||p[i].y>q[len-1]) q[len++]=p[i].y;else{int x=lower_bound(q,q+len,p[i].y)-q;q[x]=p[i].y;}}cout<<len;return 0;
}
P1233 木棍加工
本题依旧按某一个参数排序，按 \(l\) 或者 \(w\) 都可以，要降序排序，然后，对另一个参数求 \(LIS\) 即可。
注意，可能会有疑问，求的最小时间，为什么答案是 \(LIS\)？这里的最小的分钟数是由降序排序保证的，而求的 \(LIS\) 是加工至少必须花的时间
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,q[N],len;
struct node{int l,w;
}a[N];
bool cmp(node a,node b){if(a.l==b.l) return a.w>b.w;return a.l>b.l;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].l>>a[i].w;sort(a+1,a+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){if(len==0||a[i].w>q[len-1]) q[len++]=a[i].w;else{int x=lower_bound(q,q+len,a[i].w)-q;q[x]=a[i].w;}}cout<<len;return 0;
}
以上两题的转化思路是：有双参数，按其中一个参数升序或降序排序
数塔
luogu P1216 [IOI 1994 / USACO1.5] 数字三角形 Number Triangles
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,f[N],ans;
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=n-i+1;j<=n;j++){int a;cin>>a;f[j]=max(f[j],f[j+1])+a;}}for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);cout<<ans;return 0;
}
有一点要说的，求组合数 \(C^{m}_{n} = C^{m}_{n-1} + C^{m-1}_{n-1}\)，不难发现，就是数塔，并且，数塔貌似也就求组合数用的多一些，掌握组合数代码就好了。
其他
接着才是重头戏：
类似背包转移：
luogu P1077 [NOIP 2012 普及组] 摆花
思路：
设计状态：\(f_{i,j}\) 表示到第 \(i\) 朵花为止，已经用了 \(j\) 个花瓶的总方案数。
转移：
答案：\(f_{n,m}\)
初始化：\(f_{0,0}=1\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e6+7;
int n,m,f[N][N],a[N];
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];f[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){for(int k=0;k<=a[i];k++){if(j>=k) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k])%mod;}}}cout<<f[n][m];return 0;
}
luogu P1854 [IOI 1999] 花店橱窗布置
几乎一样，只不过从方案数变成了最优解，这题要输出一种方案，用一个 \(pre\) 数组记录一下，\(f\) 由谁转移，最后递归输出即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
int n,m,a[N][N],f[N][N],pre[N][N];
void dfs(int t,int id){if(t==0) return;dfs(t-1,pre[t][id]);cout<<id<<" ";
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>a[i][j];f[i][j]=-0x3f3f3f3f;}}f[0][0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=m;j++){for(int k=i-1;k<j;k++){if(f[i][j]<f[i-1][k]+a[i][j]){f[i][j]=f[i-1][k]+a[i][j];pre[i][j]=k;}}}}int ans=-0x3f3f3f3f,id;for(int i=n;i<=m;i++){if(ans<f[n][i]){ans=f[n][i];id=i;}}cout<<ans<<endl;dfs(n,id);return 0;
}
luogu P2066 机器分配
以及一样的题，这题输出的方案要按编号递增的公司分的机器单调不降的输出，此时，\(pre\) 数组只需在 \(f_{i,j}<=f_{i-1,j-k}+a_{i,k}\) 记录即可（"\(=\)"就是在盈利一样时，把方案更新成符合要求的）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[11][16],f[11][16],pre[11][16];
void dfs(int i,int j){if(i==0) return;dfs(i-1,j-pre[i][j]);cout<<i<<" "<<pre[i][j]<<endl;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>a[i][j];}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=0;k<=j;k++){if(f[i][j]<=f[i-1][j-k]+a[i][k]){f[i][j]=f[i-1][j-k]+a[i][k];pre[i][j]=k;}}}}cout<<f[n][m]<<endl;dfs(n,m);return 0;
}