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「微积分 A1」极限与连续函数

极限

聚点

设 \(S \subseteq \mathbb R\),点 \(a \in \mathbb R\) 称为 \(S\) 的聚点(或极限点),当且仅当:

\[\forall \varepsilon > 0, \quad ( (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \setminus \{a\} ) \cap S \neq \emptyset \]

数列极限

jix
对于数列 \(\{a_n\} \subseteq R\)\(L\)\(\{a_n\}\) 的极限,当且仅当:

\[\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad s.t. \quad n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon \]

记作:\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)

函数极限

对于函数 \(f(x)\)\(A\) 为其趋于 \(x_0\) 极限,需 \(x_0\)\(f\) 定义域 \(I\) 的聚点(不要求 \(x_0 \in I\)),且

\[\forall \delta > 0,\ \exists\delta > 0 : \forall x\in I,\ 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - A| < \delta \]

记作:\(\lim_{x\to x_0} f(x) = A\)

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=12957

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