当前位置: 首页 > news >正文

【转】广义积分——极限审敛法(六年考四次!)

【转载出处:知乎】 尊重原版权,如有侵权请告知,将立即删除

 

在定积分的章节中,反常积分刚开始学总是让人苦恼的,笔者在刚接触这一块的时候纠结于,反常积分,定积分,广义积分,这些都是个啥?而在反常积分的学习中,有一个非常重要的考点——敛散性的判别。只有收敛的反常积分我们才可以求其值。本篇文章为大家提供一个判别敛散性的方法:极限审敛法。

在进入正题之前,我们先回顾一些基础的概念:

正常积分(定积分):曲线下的面积是定值。

反常积分(广义积分):曲线下的面积是某个趋势。趋于定值,则收敛;趋于无穷,则发散。

反常积分可以分为三类:

1. 区间无界。 如[1,+∞)

2. 区间有界,函数无界。 (瑕积分)

3. 区间无界且函数无界

同样的,对不同种类的反常积分极限审敛法有所不同,下面进入正文:

区间无界的极限审敛法:

lim底部条件是->无穷

该法则需要注意的有两点:1.区间无界 2.限制因子p>1

可笑的是,2024年数学二的选择压轴题竟然考察了这个最简单的定义!

该法则直观的解释,即:若要判断一个区间无界的反常积分是否收敛,我们用一个x的高次阶去乘以这个函数,判断这个组合体在x->∞的时候极限是否存在,若存在,则收敛;反之发散。

对于做题,大家只要记住这个法则怎么使用就可以了,这已足够。

下面我们来看两个例子:

笔者的编辑器找不到limx->+无穷呜呜呜

通过这两个例子请读者体会极限审敛法在无穷区间的反常积分中的应用。

下面为读者提供一道好题供练习:

下面是证明过程:

但是请注意,如下命题各位读者要注意:

实际上,更为困难的是函数无界的反常积分,即瑕积分。

瑕积分的极限审敛法(重点中的重点!)

对于左瑕点:

对于右瑕点:

注意,在瑕积分中,限制因子p应当小于1!另外十分重要的是,当积分区间两端都为瑕点时,需要分开讨论,如:

a,b分别为函数的左右两个端点(瑕点),此时需要将被积函数拆成(a,K]以及[K,b),分别讨论两个反常积分的敛散性,只有当他们都收敛时,原来的反常积分才收敛!!!

下面是一个例子:

这一点笔者在初学时也忽视了,这是非常重要的。另外请读者注意,定积分中的相关结论并不能推广到反常积分,这点在日后笔者会为大家做整理。

实际上,使用极限审敛法已经足够解决很多敛散性判定问题,但是在某些问题上,使用比较审敛法会更有奇效,同样这点在日后笔者会为大家做整理。

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=36431

相关文章:

  • 2025年10月企业数字化转型服务商推荐榜:五强对比评测
  • 数据挖掘之人工智能与机器学习
  • 产品经理必看!在线白板如何嵌入产品经理工作流
  • 2025 年窗帘厂家最新推荐权威排行榜:精准剖析各品牌核心优势,涵盖定制/智能/遮光/母婴/办公室等多类型窗帘选购指南
  • 2025年DevSecOps工具生态全景观察:从代码托管到安全左移的实践演进
  • 用AI帮你一天写完一个网站:流程解析
  • KO01创建内部订单
  • 基于MSP430单片机与DS3231时钟芯片的开发
  • Deepseek分析选择家用桶装水
  • SVN 常用命令与 TortoiseSVN 使用指南
  • 10/22
  • 服务器同步软件是什么?主要有哪几种类型?
  • 完整教程:Mysql主从复制
  • 2025年10月工程管理系统推荐榜:斗栱云领衔十强对比
  • 2025年10月石墨电极厂家推荐榜:十强对比与选购指南
  • 2025年蒸发冷空调厂家权威推荐榜:工业制冷节能环保空调,车间厂房商用空调系统优质品牌精选
  • Gitee DevOps平台:本土化创新如何重塑企业研发效能
  • Ubuntu中设置一个脚本在系统启动时自动执行
  • 2025年安恒信息揭秘:AI与数据安全双轮驱动的技术纵深解析
  • 2025年10月中国宝宝辅食品牌排名榜:家长最关心的指标拆解
  • 2025年10月AI搜索营销推荐:主流十强榜单与避坑指南
  • 2025年10月北京口腔医院口碑榜:十家院区横向对比排行
  • 2025年10月长白山亲子酒店推荐榜:四季主题与温泉度假对比评测
  • 2025年安恒信息揭秘:AI与数据安全双轮驱动的深度解析
  • 2025年工业臭氧检测仪厂家权威推荐榜:在线式/固定式/便携式/手持式全系列精准监测设备精选指南
  • CNN--不同的filter对图片进行卷积
  • 2025年10月AI搜索优化推荐:口碑榜单与全流程避坑指南
  • 详细介绍:《UE5_C++多人TPS完整教程》学习笔记60 ——《P61 开火蒙太奇(Fire Montage)》
  • 2025 年防火母线槽厂家最新推荐榜:聚焦企业专利技术、品质管控及知名客户合作案例的权威解析
  • 2025年CNC加工厂家权威推荐榜单:CNC精密加工/加工中心CNC/cnc电脑锣加工/精密CNC加工/铝板cnc加工技术实力与市场口碑深度解析