AtCoder Regular Contest 206 (Div. 2) 部分题解
A - Range Replace
我们发现，若 \(a_i=a_{i+1}\) 则将操作左端点放在 \(i\) 和 \(i+1\) 是等价的，为了不重复，我们强制所有操作左端点都要放在 \(i\) 使得 \(a_i\not ={a_{i-1}}\) ，即所有值相同的连续段的最左边。
固定左端点看右端点，若 \(a_L=a_R\) ，则和操作 \((L,R-1)\) 是等价的（因为 \(a_R\) 改不改都一样），按照最小原则，这种操作我们不要。
总结一下，左端点要求 \(a_L\not ={a_{L-1}}\) ，右端点要求 \(a_L\not ={a_R}\) ，这样所有的操作得到的序列都不一样，计算这个是容易的，枚举 \(a_i\) 的值就可以了。
B - Slime Swap
冒泡排序所有的逆序对最终都需要做交换，若逆序对两位置颜色相同，则需要做更改。
澄清一个事实，假定我们选择了一些位置，这些位置做更改，则一定存在一种改颜色的方案使得最终能排好序。
因此我们要选最优的一些位置使得这些位置价值和最小。
颜色相同的位置需要考虑，枚举颜色单独拉出来，对于一个子序列，我们选择一些位置删除，使得剩余的位置单调上升（若还有逆序对则还需要更改），那很明显最优是保留 LIS 的那些位置。
于是对每个颜色，求其序列的 LIS ，就能计算答案了。
C - Tree Sequence
考虑 \(r=l+1\) 的区间。若这个区间成立则必然有 \(a_l=l+1\) 或 \(a_r=r-1\) 。
对于一个区间 \((l,l+1)\) ，若 \(a_l\not ={a_{l+1}}\) ，则必然有 \(a_{l+1}=l\) ，那再往后递进，\(a_{l+1}\not ={l+2}, a_{l+2}=l+1 \cdots\) 。
以此类推，我们发现，若某个位置有 \(a_i\not ={i+1}\) 则对于 \(x>i\) 必然有 \(a_x=x-1\) 。
那么我们尝试观察这个性质下这个序列长什么样子，最开始一段前缀，有 \(a_i=i+1\) ，直到出现一个位置 \(a_l\not ={l+1}\) ，那么往后的后缀，都有 \(a_x=x-1\) 。即，只有一个位置满足 \(a_i\not ={i+1}\) ，对于 \([1,i-1],a_x=x+1\)，对于 \([i+1,n],a_x={x-1}\) 。
那么我们枚举这个出现异常的点的位置，再判断一下前后缀是否存在方案填成这种形式，那么前后缀不造成贡献，只有这个位置造成贡献，若这个位置已经有值，则判断一下，若没有值，则任意填一个不是 \(i+1\) 的数。
注意 \(i=n\) 要特判一下。
D - LIS ∩ LDS
很好的分讨，让我大脑旋转。
对于 \(n=1\) ，只有 \(k=1\) 可以。
对于 \(n=2\) ，只有 \(k=2\) 可以。
对于 \(n > 3\) 的情况：
- \(k \geq 2\) 必然有解：
- 构造 \(\{1,2,3,\cdots,n-k,n,n-1,n-2,\cdots,n-k+1\}\) ，LDS 为一个后缀，LIS 为前缀加 LDS 后缀的随便一个。
- \(k=1\) 在 \(n \geq 5\) 后有解：
- 有构造 \(\{2,5,3,1,4\}\) ，更大的 \(n\) 只需要把 \(\{n,n-1,\cdots,6\}\) 插在最开头就可以。
- \(k=0\) 在 \(n \geq 8\) 后有解：
- 有构造 \(\{3,4,8,7,2,1,5,6\}\) ，更大的 \(n\) 把 \(\{n,n-1,\cdots,9\}\) 插在最前面。
具体怎么发现的呢？挂了两发打表看出来的。