黎曼流形与黎曼梯度

黎曼流形与黎曼梯度

黎曼流形(Riemannian manifolds)

定义
切空间 \(\mathrm{T}_x \mathcal{M}\) 上的内积是一个双线性、对称、正定的函数 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_x: \mathrm{T}_x \mathcal{M} \times \mathrm{T}_x \mathcal{M} \to \mathbb{R}\)。它诱导出切向量的范数：\(\| u \|_x = \sqrt{\langle u, u \rangle_x}\)。流形 \(\mathcal{M}\) 上的度量是为每个 \(x \in M\) 选择一个内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_x\)。

注记
内积是对于切空间\(\mathrm{T}_x \mathcal{M}\)而言的概念, 而度量则是在流形\(\mathcal{M}\)每一个点处的切空间定义的整体概念。

我们需要特别希望的是在某种意义上随 \(x\) 光滑变化的度量。于是有如下含义:

定义（黎曼度量）
若流形 \(\mathcal{M}\) 上的度量 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_x\) 随 \(x\) 光滑变化，即对于 \(\mathcal{M}\) 上所有的光滑向量场 \(V, W\)，函数 \(x \mapsto \langle V(x), W(x) \rangle_x\) 是从 \(\mathcal{M}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的光滑函数，那么该度量就是黎曼度量。

定义（黎曼流形）
黎曼流形是带有黎曼度量的流形。

欧几里得空间是一个带有内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)（在所有点处都相同）的线性空间 \(\mathcal{E}\)——我们称之为欧几里得度量。当 \(\mathcal{M}\) 是欧几里得空间 \(\mathcal{E}\) 的一个嵌入子流形时，\(\mathcal{M}\) 的切空间是 \(\mathcal{E}\) 的线性子空间。这就有了一个在每个切空间上定义内积的特别简便的方法：只需将 \(\mathcal{E}\) 的内积限制到每个切空间上。由此在 \(\mathcal{M}\) 上得到的度量称为诱导度量。易得诱导度量是一个黎曼度量，这引出了黎曼子流形的概念。

定理
设 \(\mathcal{M}\) 是 \(\mathcal{E}\) 的一个嵌入子流形，且 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 是 \(\mathcal{E}\) 上的欧几里得度量。那么，在每个 \(x\) 处通过限制定义的 \(\mathcal{M}\) 上的度量，即对于 \(u, v \in T_x \mathcal{M}\)，有 \(\langle u, v \rangle_x = \langle u, v \rangle\)，是一个黎曼度量。

证明
对于任意两个光滑向量场 \(V, W \in \mathfrak{X}(\mathcal{M})\)，设 \(\bar{V}, \bar{W}\) 是 \(V, W\) 到 \(\mathcal{E}\) 中 \(\mathcal{M}\) 的一个邻域 \(U\) 的两个光滑延拓。然后，考虑 \(g(x) = \langle V(x), W(x) \rangle_x\)（\(\mathcal{M}\) 上的一个函数），并令 \(\bar{g}(x) = \langle \bar{V}(x), \bar{W}(x) \rangle\)（\(U\) 上的一个函数）。显然，\(\bar{g}\) 是光滑的，且 \(g = \bar{g}|_{\mathcal{M}}\)。因此，\(g\) 是光滑的。

定义
设 \(\mathcal{M}\) 是欧几里得空间 \(\mathcal{E}\) 的一个嵌入子流形。将 \(\mathcal{E}\) 的内积限制到每个切空间上得到的黎曼度量，我们称 \(\mathcal{M}\) 是 \(\mathcal{E}\) 的一个黎曼子流形。

注记
黎曼子流形不仅仅是带有某种黎曼结构的嵌入子流形, 还必须是继承了被嵌入空间的内积作为度量。

例子
给 \(\mathbb{R}^d\) 赋予标准度量 \(\langle u, v \rangle = u^\top v\)，并考虑球面 \(\mathrm{S}^{d - 1} = \{ x \in \mathbb{R}^d : \| x \| = 1 \}\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 的嵌入子流形。在每个切空间 \(T_x \mathrm{S}^{d - 1}\) 上，利用继承的度量 \(\langle u, v \rangle_x = \langle u, v \rangle = u^\top v\)，该球面成为 \(\mathbb{R}^d\) 的一个黎曼子流形。

例子
对于上述流形，还可以考虑这样的度量：在每个切空间 \(T_x \mathrm{S}^{d - 1}\) 上，定义内积 \(\langle u, v \rangle_x = u^\top G(x) v\)，其中\(G: \mathcal{M} \to \mathbb{R}^{d\times d}\)为连续映射，则该球面成为一个黎曼流形。(注意此时不能称之为黎曼子流形，因为它的度量并不是继承于\(\mathcal{E}\))

黎曼梯度(Riemannian gradients)

设 \(\mathcal{M}\) 是一个黎曼流形。给定一个光滑函数 \(f: \mathcal{M} \to \mathbb{R}\)，我们可以定义它的梯度了。

定义
设 \(f: \mathcal{M} \to \mathbb{R}\) 是黎曼流形 \(\mathcal{M}\) 上的光滑函数。\(f\) 的黎曼梯度是 \(\mathcal{M}\) 上的一个向量场 \(\operatorname{grad}f\)（所谓向量场，就是由一个点确定一个向量，有点像一个向量空间到向量空间的映射），它由以下恒等式唯一确定：

\[\forall (x, v) \in \mathrm{T}\mathcal{M} , Df(x)[v] = \langle v, \operatorname{grad}f(x) \rangle_x, \]

其中 \(\mathrm{D}f(x)\) 如微分中所示，\(\langle \cdot, \cdot \rangle_x\) 是黎曼度量。

注记
注意上述的\(\operatorname{grad} f(x)\in \mathrm{T}_x\mathcal{M}\). \(\operatorname{grad} f\) 是一个从$ \mathrm{T}\mathcal{M}\(到\)\mathbb{R}$的一个映射.回想一下，在数学分析中也有一样的东西:

\[\forall (x, v) \in \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n , Df(x)[v] = \langle v, \operatorname{grad}f(x) \rangle, \]

这里的切丛\(\mathrm{T}\mathcal{M}\)其实就是\(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\),因为函数的定义域是全空间\(\mathbb{R}^n\).

要计算 \(f\) 的梯度，首选方法是得到 \(\mathrm{D}f(x)[v]\) 的表达式，然后对其进行运算，直到它呈现出 \(\langle v, \cdot \rangle_x\) 的形式，其中 \(v\) 是 \(x\) 处的切向量。根据唯一性，这样就能得到梯度。可以通过回缩来采用间接方法:

定理
设 \(f: \mathcal{M} \to \mathbb{R}\) 是黎曼流形 \(\mathcal{M}\) 上的光滑函数, \(R\) 是 \(\mathcal{M}\)上一个回缩算子。那么，对于所有 \(x \in \mathcal{M}\)，有

\[\operatorname{grad}f(x) = \operatorname{grad}(f \circ R_x)(0), \]

其中 \(f \circ R_x: T_x \mathcal{M} \to \mathbb{R}\) 定义在欧几里得空间（具有内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_x\) 的线性空间 \(T_x \mathcal{M}\)）上。

证明
\(\forall v \in T_x \mathcal{M}\)，因为 \(R_x(0) = x\) 且 \(DR_x(0)\) 是恒等映射）于是有

\[\mathrm{D}(f \circ R_x)(0)[v] = \mathrm{D}f(R_x(0))[\mathrm{D}R_x(0)[v]] = \mathrm{D}f(x)[v], \]

对 \(f \circ R_x\) 和 \(f\) 都使用梯度的定义，我们可以得出，对于所有 \(v \in T_x \mathcal{M}\)，

\[\langle \operatorname{grad}(f \circ R_x)(0), v \rangle_x = \langle \operatorname{grad}f(x), v \rangle_x. \]

由梯度的唯一性可得该结论。
\(\square\)

假设 \(\mathcal{M}\) 嵌入到具有欧几里得度量 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 的欧几里得空间 \(\mathcal{E}\) 中。由于 \(f\) 是光滑的，则有在 \(\mathcal{E}\) 中 \(\mathcal{M}\) 的一个邻域上一个光滑延拓 \(\bar{f}\)，其具有欧几里得梯度 \(\operatorname{grad}\bar{f}\)。于是：

\[\forall (x, v) \in T\mathcal{M}, \quad \langle v, \operatorname{grad}f(x) \rangle_x = \mathrm{D}f(x)[v] = \mathrm{D}\bar{f}(x)[v] = \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x) \rangle. \]

由于 \(T_x \mathcal{M}\) 是 \(\mathcal{E}\) 的子空间，且 \(\operatorname{grad}\bar{f}(x)\) 是 \(\mathcal{E}\) 中的向量，因此，后者在 \(\mathcal{E}\) 中可以唯一分解为

\[\operatorname{grad}\bar{f}(x) = \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel + \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\perp, \]

其中一个分量在 \(\mathrm{T}_x \mathcal{M}\) 中，另一个与 \(\mathrm{T}_x \mathcal{M}\) 正交，正交性由 \(\mathcal{E}\) 的内积判断。即，\(\operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel\) 在 \(T_x \mathcal{M}\) 中，且\(\forall v \in \mathrm{T}_x \mathcal{M}, \quad \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\perp \rangle = 0\).

因此，\(\forall (x, v) \in T\mathcal{M}\)，

\[\langle v, \operatorname{grad}f(x) \rangle_x = \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x) \rangle = \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel + \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\perp \rangle = \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel \rangle. \]

这将 \(f\) 的黎曼梯度与 \(\bar{f}\) 的欧几里得梯度联系起来。

现在进一步假设 \(\mathcal{M}\) 是 \(\mathcal{E}\) 的黎曼子流形。那么，由于黎曼度量是欧几里得度量在切空间上的限制，我们得到：

\[\forall (x, v) \in T\mathcal{M}, \quad \langle v, \operatorname{grad}f(x) \rangle = \langle v, \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel \rangle. \]

于是

\[\operatorname{grad}f(x) = \operatorname{grad}\bar{f}(x)_\parallel. \]

换句话说：要确定 \(\operatorname{grad}f\)，首先求出 \(f\) 的任意光滑延拓的（经典）梯度的表达式，然后正交投影到切空间上。这是一个实用的方法，因为我们通常可以得到一个光滑延拓。这促使我们引入正交投影算子。

定义
设 $ \mathcal{M} $ 是欧几里得空间 $ \mathcal{E} $ 的一个嵌入子流形。到 $ \mathrm{T}_x \mathcal{M} $ 的正交投影是满足以下性质的线性映射 $ \mathrm{Proj}_x: \mathcal{E} \to \mathcal{E} $：

• 值域：$ \mathrm{im}(\mathrm{Proj}_x) = \mathrm{T}_x\mathcal{M} $;
• 投影性：$ \mathrm{Proj}_x \circ \mathrm{Proj}_x = \mathrm{Proj}_x $;
• 正交性：对所有 $ v \in \mathrm{T}_x\mathcal{M} $ 和 $ u \in \mathcal{E} $，有 $ \langle u - \mathrm{Proj}_x(u), v \rangle = 0 $.

注记
对于一个开子流形，因为 \(\mathrm{T}_x\mathcal{M} = \mathcal{E}\)，所以\(\mathrm{Proj}_x\) 是恒等映射。

于是根据上述讨论得到:

命题
设 $ \mathcal{M} $ 是欧几里得空间 $ \mathcal{E} $ 的一个黎曼子流形，且 $ f: \mathcal{M} \to \mathbb{R} $ 是一个光滑函数。则 $ f $ 的黎曼梯度由下式给出：

\[\operatorname{grad} f(x) = \mathrm{Proj}_x(\operatorname{grad} \bar{f}(x)), \]

其中 $ \bar{f} $ 是 $ f $ 到 $ \mathcal{E} $ 中 $ \mathcal{M} $ 的某一邻域的任意光滑延拓。

命题
设 $ \mathrm{Proj}_x $ 是从 $ \mathcal{E} $ 到 $ \mathcal{E} $ 的一个线性子空间的正交投影。那么，$ \mathrm{Proj}_x $ 是自伴的。具体来说：

\[\forall u, v \in \mathcal{E}, \quad \langle u, \mathrm{Proj}_x(v) \rangle = \langle \mathrm{Proj}_x(u), v \rangle, \]

其中 $ \langle \cdot, \cdot \rangle $ 是 $ \mathcal{E} $ 上的欧几里得度量。

证明
根据正交投影的性质，对所有 $ u, v \in \mathcal{E} $：

\[\begin{aligned} 0 &= \langle u - \mathrm{Proj}_x(u), \mathrm{Proj}_x(v) \rangle \\ &= \langle u, \mathrm{Proj}_x(v) \rangle - \langle \mathrm{Proj}_x(u), \mathrm{Proj}_x(v) \rangle \\ &= \langle u, \mathrm{Proj}_x(v) \rangle - \langle \mathrm{Proj}_x(u), v - (v - \mathrm{Proj}_x(v)) \rangle \\ &= \langle u, \mathrm{Proj}_x(v) \rangle - \langle \mathrm{Proj}_x(u), v \rangle + \underbrace{\langle \text{Proj}_x(u), v - \mathrm{Proj}_x(v) \rangle}_{=0}\\ &= \langle u, \mathrm{Proj}_x(v) \rangle - \langle \mathrm{Proj}_x(u), v \rangle. \end{aligned} \]