一试模拟试题(十七)problem 7 另:
求式子 \(T = \sqrt{\cfrac{5-3 \sin \theta}{5+3 \cos \theta}}\) 的最大值
易知可以转化为点 \(P(5,5)\) 到以原点 \(O\) 为圆心,半径为 \(3\) 的圆的切线的斜率(较大的那一个)。
随手画了个图,如图,即求直线 \(PQ\) 的斜率。
此处我们熟知,\(k_{PQ} = \tan \angle PRS = \tan (\angle POS - \angle OPQ)\)
而 \(\tan \angle POS = 1\),\(\tan \angle OPQ = \frac{3}{\sqrt {41}}\)
直接求得 \(k_{PQ} = \cfrac{\sqrt{41} + 3}{\sqrt{41} - 3} = \cfrac{(\sqrt{41} + 3)^2}{32}\),故答案为 \(\cfrac{\sqrt{41} + 3}{4\sqrt 2}\)