蓝桥杯 2025 省 B 题：画展布置 - 题解笔记

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一、题目核心信息

1. 问题描述

给定 N 幅画作的艺术价值数组 A，需从其中挑选 M 幅并排列成序列 B（长度为 M），目标是最小化评价指标 L，L 的定义为：

\[L = \sum_{i=1}^{M-1} |B_{i+1}^2 - B_i^2| \]

2. 输入输出格式

• 输入：
  1. 第一行：两个正整数 N（画作总数）和 M（需挑选的画作数）；
  2. 第二行：N 个正整数 A_1, A_2, ..., A_N（每幅画的艺术价值）。
• 输出：一个整数，代表 L 的最小值。

3. 数据规模与约定

评测用例	约束条件
40% 用例	\(2 \leq M \leq N \leq 10^3\)，\(1 \leq A_i \leq 10^3\)
100% 用例	\(2 \leq M \leq N \leq 10^5\)，\(1 \leq A_i \leq 10^5\)

二、关键推导：基于三角不等式简化问题

1. 三角不等式基础

对任意实数 a 和 b，三角不等式的基本形式为：

\[|a + b| \leq |a| + |b| \]

• 取等号条件：a 与 b 同号（或至少其中一个为 0）。

推广到 n 个实数的和：

\[\left| \sum_{k=1}^n a_k \right| \leq \sum_{k=1}^n |a_k| \]

• 取等号条件：所有非零项 a_k 的符号一致（全正或全负）。

2. 应用三角不等式到 L

将 L 中的每一项 \(|B_{i+1}^2 - B_i^2|\) 视为 \(|a_i|\)，代入推广后的三角不等式：

\[\sum_{i=1}^{M-1} |B_{i+1}^2 - B_i^2| \geq \left| \sum_{i=1}^{M-1} (B_{i+1}^2 - B_i^2) \right| \]

右侧的求和式是望远镜级数（Telescoping Series），展开后中间项会抵消，最终化简为：

\[\sum_{i=1}^{M-1} (B_{i+1}^2 - B_i^2) = B_M^2 - B_1^2 \]

由此得到关键不等式：

\[L \geq |B_M^2 - B_1^2| \]

3. L 取最小值的条件

要使 L 达到最小值（即 \(L = |B_M^2 - B_1^2|\)），需满足三角不等式的取等条件：
所有 \((B_{i+1}^2 - B_i^2)\) 的符号一致 → 序列 \(B_1^2, B_2^2, ..., B_M^2\) 是单调序列（递增或递减）。

由于 B_i 是正整数（艺术价值为正），\(B_i^2\) 与 B_i 的单调性完全一致，因此：
序列 B 必须按艺术价值单调排列（从小到大或从大到小）。

三、优化思路：从“选+排”到“滑动窗口”

1. 固定选组的最优 L

对任意选出的 M 幅画，若按单调顺序排列，则 L 可简化为：

\[L = B_M^2 - B_1^2 \]

（因 B 单调，\(B_M^2 \geq B_1^2\)，绝对值可直接去掉）。

2. 最小化 L 的选组策略

问题转化为：从数组 A 中挑选 M 幅画，使“最大值² - 最小值²”最小。

关键结论：最优选组是“排序后连续的 M 个元素”

若将 A 按升序排序为 \(A_1 \leq A_2 \leq \dots \leq A_N\)，则：

• 任意非连续的 M 个元素，其“最大值 - 最小值”的差距，必然大于等于某组连续 M 个元素的差距。
• 例：选 \(A_1, A_3, A_4\)（M=3），最大值为 \(A_4\)，最小值为 \(A_1\)，差距为 \(A_4^2 - A_1^2\)；而连续组 \(A_2, A_3, A_4\) 的差距为 \(A_4^2 - A_2^2\)，显然更小。

四、最终解题步骤

1. 排序数组：将原始数组 A 按升序排序（时间复杂度 \(O(N \log N)\)，适配 \(10^5\) 规模数据）。
2. 滑动窗口计算：用长度为 M 的窗口遍历排序后的数组，对每个窗口计算 \(A[i+M-1]^2 - A[i]^2\)（时间复杂度 \(O(N)\)）。
   • 窗口范围：i 从 \(0\) 到 \(N-M\)（假设数组下标从 0 开始），每个窗口对应 \(A[i]\) 到 \(A[i+M-1]\) 的 M 个元素。
3. 取最小值：遍历所有窗口计算结果，其中最小的值即为 L 的最小值。

五、示例验证（输入 #1）

输入

4 2
1 5 2 4

解题过程

1. 排序数组：将 A 排序为 \([1, 2, 4, 5]\)（下标 0-3）。
2. 滑动窗口计算（M=2，窗口数 \(4-2+1=3\)）：
   • 窗口 1（i=0，元素 \(1,2\)）：\(2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\)；
   • 窗口 2（i=1，元素 \(2,4\)）：\(4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\)；
   • 窗口 3（i=2，元素 \(4,5\)）：\(5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\)。
3. 取最小值：结果为 3，与预期输出一致。

六、算法复杂度分析

复杂度类型	具体值	说明
时间复杂度	\(O(N \log N)\)	排序占主导（\(O(N \log N)\)），滑动窗口仅需 \(O(N)\)，两者叠加后取高阶项
空间复杂度	\(O(1)\)（或 \(O(N)\)）	若原地排序（如快速排序），空间复杂度为 \(O(1)\)；若使用非原地排序（如 Python 的 sorted()），空间复杂度为 \(O(N)\)，均适配 \(10^5\) 规模

七、代码实现（Python 示例）

# 读取输入
n, m = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))# 步骤1：排序数组（升序）
a.sort()# 步骤2：滑动窗口计算最小L值
min_l = float('inf')
# 窗口左边界i的范围：从0到n-m（闭区间）
for i in range(n - m + 1):# 窗口内最小值：a[i]，最大值：a[i+m-1]（因数组已排序）max_val = a[i + m - 1]min_val = a[i]# 计算当前窗口的L值：max² - min²current_l = max_val ** 2 - min_val ** 2# 更新最小值if current_l < min_l:min_l = current_l# 输出结果
print(min_l)

代码说明

• 排序：使用 Python 内置 sorted() 函数，时间复杂度 \(O(N \log N)\)，稳定性满足需求，且适配 \(10^5\) 规模数据。
• 滑动窗口：循环范围 range(n - m + 1) 确保窗口不越界（覆盖所有合法的 M 元素组合），每个窗口计算仅需 \(O(1)\) 时间，整体线性效率。
• 数值计算：直接用 **2 计算平方，避免浮点误差（因 A_i 为正整数，平方结果仍为整数）。