例题
已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),求\(f(x+3)\)的定义域.
结论
已知\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\),求\(f(h(x))\)的定义域.
套路:
① 由\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)得\(a<x<b\);
② 由\(a<x<b\)求出\(g(x)\)的范围\(c<g(x)<d\);
③ 令\(c<h(x)<d\),求出不等式的解集便是答案.
例题解答
已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),求\(f(x+3)\)的定义域.
解 由\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\),得到\(1<x<2\),
所以\(1<x^2<4⇒0<x^2-1<3\),
令\(0<x+3<3\),解得\(-3<x<0\),
故最后答案是\((-3,0)\).
细讲
要明白以上所讲的结论,我们要理解两点
(1)定义域的定义;
(2)\(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同(即套路中的第三步).
(1) 定义域的定义是“自变量x的取值范围”
(2) \(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同
\(f\)它指的是一种对应关系,比如\(f:\sqrt{ }\)(开平方根)
\(f(x)\)的定义域,即\(y=\sqrt{x}\)的定义域,则求\(x≥0\)便可;
\(f(2x-1)\)的定义域,即\(y=\sqrt{2x-1}\)的定义域,则求\(2x-1≥0\)便可;
\(f(x^2-1)\)的定义域,即\(y=\sqrt{x^2-1}\)的定义域,则求\(x^2-1≥0\)便可.
所以\(f(x)、f(2x-1)、f(x^2-1)\)的定义域,
其中\(x,2x-1,x^2-1\)的范围都是\(≥0\),是相同的.
有时候抽象函数较难理解,可以附上具体的解析式,会好理解些.