矩阵基础
矩阵乘法
对 \(x\) 行 \(m\) 列矩阵 \(A\) 和 \(m\) 行 \(y\) 列矩阵 \(B\),记 \(C=A\times B\)。
矩阵乘法满足
- 结合律 \((A\times B) \times C=A\times (B\times C)\)。
- 分配律 \(A\times(B+C)=A\times B + A\times C\)。
矩阵乘法一般不满足交换律。
矩阵乘法的看待视角与解线性方程组的联系
分块矩阵乘法
将相乘的原矩阵分块,保证分块矩阵可乘且分块矩阵对应元素可乘,则分块矩阵相乘得到的矩阵与原矩阵相乘相等。
特殊的分块方法
对于 \(A\times B=C\)。
记 \(A=[A_1,A_2,\cdots,A_n],C=[C_1,C_2,\cdots, C_n]\)。称为对矩阵的列分块。
考察
即 \(C_i\) 是 \(A\) 的线性组合。即 \(C\) 的每一列是 \(A\) 的列的线性组合。
同理,\(C\) 的每一行是 \(B\) 的行的线性组合。
即,矩阵 \(A\) 左乘矩阵 \(M\) 是对 \(A\) 进行行变换,右乘矩阵 \(M\) 是对 \(A\) 进行列变换。
高斯消元中我们需要的操作有
- 将一行加上另一行的 \(c(c \neq 0)\) 倍。
- 交换两行。
- 将一行系数乘以 \(c(c \neq 0)\)。
这样的操作叫做基本行变换。基本行变换显然可以用左乘矩阵的形式表达。这样的矩阵被称作初等矩阵 (Elementary Matrices)。
矩阵的 LU、LDU 分解
三角阵
对方阵 \(A(n\times n)\)
上三角阵:满足 \(a_{i, j}=0 (i>j)\)
下三角阵:满足 \(a_{i, j}=0 (i<j)\)
单位上(下)三角阵:\(a_{i, i}=1\) 的上(下)三角阵
性质:
上(下)三角阵乘以上(下)三角阵还是上(下)三角阵。
单位上(下)三角阵乘以单位上(下)三角阵还是上(下)三角阵。
高斯消元构造分解
当高斯消元过程不需要行交换,基本行变换对应的初等矩阵都是单位下三角矩阵。即
\(U\) 为上三角阵。
则有
记
有
令 \(U=DU'\),其中 \(D\) 为单位矩阵,\(U'\) 为单位上三角矩阵,则 \(A=LDU'\) 称为 \(A\) 的 LDU 分解。
矩阵的 LDU 分解唯一。
置换矩阵 (permutation matrix)
\(A(n\times n)\) 满足每行每列只有一个 \(1\)。
\(Ax\) 可以表示一个 \(x\) 的排列 \(P(x)\)。
观察到高斯消元的行交换过程可以全部预先完成,故通用的 LU 分解可以写成
特殊方程组的解法
分块对角矩阵
即
即
待补充
逆与转置
方阵的逆矩阵 (Inverse Matrix)
对于矩阵 \(A\),若 \(BA=I\),称 \(B\) 为 \(A\) 的右逆。若 \(AC=I\),称 \(C\) 为 \(A\) 的左逆。
故 \(B=C\)。
故若方阵存在逆,则既为左逆又为右逆,且该逆唯一。