在矩阵论和信号处理中，奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD） 是一个极其重要的工具。它不仅是一个数学分解公式，更是连接数据压缩、特征提取和深度学习优化的桥梁 。
- 概念介绍：什么是奇异值，它有什么作用？
奇异值分解的定义
对任意矩阵 A \in \mathbb{R}^{m \times n}，SVD 表示为：
A = U , \Sigma , V^T
其中：
• U \in \mathbb{R}^{m \times m}：左奇异向量矩阵（正交基，描述输出方向）；
• \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}：奇异值对角矩阵（非负实数，按大小排序）；
• V \in \mathbb{R}^{n \times n}：右奇异向量矩阵（正交基，描述输入方向）。
奇异值的物理意义
• 几何解释：矩阵 A 作用在单位圆上，会把它拉伸成椭圆。椭圆的长短轴就是奇异值，方向由 U, V 决定。
• 能量解释：奇异值的平方 \sigma_i^2 表示矩阵在对应方向上的能量贡献。
• 工程意义：奇异值排序体现了矩阵的重要模式。大奇异值决定主要结构，小奇异值常对应细节或噪声。