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为你的数据选择合适的分布:8个实用的概率分布应用场景和选择指南

拿到数据想建模,但不知道用哪个分布?大部分教科书都在讲一堆你永远用不到的东西。实际工作中,你只需要掌握几个核心分布,然后知道什么时候该用哪个就够了。

这里是我在做分析、实验设计、风险建模时真正会用的8个分布。每个都会告诉你使用场景、快速拟合方法、需要避开的坑,以及现成的代码。

伯努利分布:最基础的二元事件

点击还是不点击,欺诈还是正常,用户流失还是留存。单次试验的成功失败问题,用伯努利分布就对了。

但是数据严重不平衡时别硬套伯努利,记得做校准处理。比如欺诈检测场景,正负样本比例差太多的话,直接用p估计会有偏。

import numpy as np
y = np.array([0,1,0,1,1,0,0,1])
p = y.mean() # MLE for Bernoulli
samples = np.random.binomial(1, p, size=10000)
二项分布:多次试验的累计结果
用户看了10次广告点了几次?50封邮件打开了多少?这种"N次机会中成功K次"的场景,二项分布最合适。

如果试验之间有关联(比如同一用户多次看广告),方差会比理论值大。这时候考虑用Beta-二项分布,能更好处理过度分散的情况。

from scipy.stats import binom
n, x = 50, 17
p_hat = x / n
ci = binom.interval(0.95, n, p_hat) # simple CI on counts
泊松分布:计数事件的标配
每分钟客服电话、每小时系统故障、每平方米缺陷数。这些稀有且相互独立的计数事件,泊松分布处理起来最直接。

方差远大于均值的话,说明数据过度分散了。这种情况泊松分布就不够用,得换负二项分布(实际上是泊松和伽马的混合)。

from scipy.stats import poisson
counts = [0,1,0,2,1,0,3,1]
lam = np.mean(counts)
pmf = poisson.pmf(np.arange(6), lam)
正态分布:数据分析的主力
KPI的平均值、传感器噪声、大样本的误差分析。正态分布虽然被用烂了,但在合适的场景下确实好用。

轻微偏斜或者有异常值的话,正态分布的估计就会偏。小样本或者明显厚尾的数据,直接上学生t分布更稳妥。

from scipy.stats import norm
mu, sigma = np.mean(counts), np.std(counts, ddof=1)
cdf90 = norm.cdf(90, mu, sigma)
学生t分布:处理小样本和异常值
数据有明显的厚尾特征,或者样本量不够大?正态分布容易被异常值带偏,这时候t分布更靠谱。测量数据偶尔出现的异常峰值、小样本的均值估计,都适合用它。

别把t分布当万能药。真的有严重异常值,还是得先清理数据或者做winsorizing处理,t分布只是比正态分布抗造一些。

from scipy.stats import t
nu = 5

probability a standardized value is within 2 std

prob = t.cdf(2, df=nu) - t.cdf(-2, df=nu)
指数分布:等待时间建模
用户点击通知后多久会打开APP?系统两次故障之间间隔多久?只要是"等待第一次事件发生"的时间建模,而且事件发生率恒定,指数分布就很合适。

率参数λ,均值是1/λ。

from scipy.stats import expon
lam = 0.2
samples = expon(scale=1/lam).rvs(10000) # mean ≈ 1/lam
对数正态分布:处理乘性过程
用户会话时长、单用户收入、文件大小这些数据往往是多个正数因子相乘的结果。如果把数据取对数后看起来接近正态分布,那对数正态分布就是你要的。

尾部数据会严重拖累均值,做报告或者假设检验时用中位数和几何均值更稳定。

from scipy.stats import lognorm
sigma, mu = 0.8, 1.2
rv = lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))
q95 = rv.ppf(0.95)
Beta分布:概率的概率
要建模转化率、缺陷率、分类器召回率这些本身就是概率的量?Beta分布天生就是干这个的。配合二项数据做贝叶斯推断特别好用。

α和β太小的话分布会很尖锐。做先验设置时要合理,比如α=β=1是均匀分布,α=β=2是相对温和的先验。

from scipy.stats import beta
alpha0, beta0 = 2, 2
x, n = 17, 50
posterior = beta(alpha0 + x, beta0 + (n - x))
credible = posterior.interval(0.95) # 95% credible interval for p
快速选择合适的分布
遇到具体问题,按这个思路走基本不会有错:

二元结果直接伯努利。N次试验中成功K次用二项,不过如果方差明显大于理论值就换Beta-二项。计数类型的用泊松,过度分散就上负二项。

均值类的数据优先考虑正态,有厚尾或者样本小就用t分布。等待时间且发生率恒定选指数,发生率会变化就考虑韦伯分布。

正数且明显右偏的数据试试对数正态,或者你想直接控制均值和形状参数的话用伽马分布也行。要建模概率本身,Beta分布是唯一选择。

拟合验证的技巧
别急着套公式,先画图。直方图能立刻告诉你数据的偏斜程度和异常情况,对数直方图对于长尾数据特别有用。

参数估计用最大似然或者矩估计都行,但是一定要用残差图和QQ图验证拟合效果。信息准则AIC/BIC比较不同分布的优劣,或者简单点用留出集的对数似然。

最重要的是模拟验证。用拟合好的分布生成数据,看看均值、方差、分位数是不是和原始数据对得上。如果对不上,说明这个分布选错了,哪怕拟合图看起来很漂亮也没用。

下面是通用代码模板

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
def fit_and_score(sample, candidate):
params = candidate.fit(sample) # generic MLE
ll = np.sum(candidate.logpdf(sample, params))
k = len(params)
aic = 2
k - 2*ll
return params, aic

data = np.array([...], dtype=float)
cands = [stats.norm, stats.t, stats.lognorm, stats.gamma]
scores = [(c.name, *fit_and_score(data, c)) for c in cands]
best = min(scores, key=lambda r: r[-1]) # lowest AIC
一个真实案例:客服票据建模
之前做过的一个客服系统的分析,每小时票据数平均是2.1张,但方差居然有5.7。按泊松分布的理论,方差应该等于均值才对,这明显过度分散了。

后来换成负二项分布重新建模,预测误差直接降了18%。更重要的是,人力排班计划变得稳定多了,不会再因为周末突然来一波高峰把大家搞得措手不及。

所以有时候选对分布真的能解决实际问题。

总结
分布选择其实就是在讲故事,讲数据是怎么产生的。从最简单合理的故事开始,老老实实验证效果,只有数据真的需要的时候才考虑更复杂的模型。

这样做对你自己好,对业务方也好。没人喜欢过度复杂的东西,除非它真的有用。
更多案例:
github.com/yjrtfn/cd/issues/285
github.com/yjrtfn/cd/issues/284
github.com/yjrtfn/cd/issues/283
github.com/yjrtfn/cd/issues/282
github.com/yjrtfn/cd/issues/281
github.com/yjrtfn/cd/issues/280
github.com/yjrtfn/cd/issues/279
github.com/yjrtfn/cd/issues/278
github.com/yjrtfn/cd/issues/277
github.com/yjrtfn/cd/issues/276
github.com/yjrtfn/cd/issues/275
github.com/yjrtfn/cd/issues/274
github.com/yjrtfn/cd/issues/273
github.com/yjrtfn/cd/issues/272
github.com/yjrtfn/cd/issues/271
github.com/yjrtfn/cd/issues/270
github.com/yjrtfn/cd/issues/269
github.com/yjrtfn/cd/issues/268
github.com/yjrtfn/cd/issues/267
github.com/yjrtfn/cd/issues/266
github.com/yjrtfn/cd/issues/265
github.com/yjrtfn/cd/issues/264
github.com/yjrtfn/cd/issues/263
github.com/yjrtfn/cd/issues/262
github.com/yjrtfn/cd/issues/261
github.com/yjrtfn/cd/issues/260
github.com/yjrtfn/cd/issues/259
github.com/yjrtfn/cd/issues/258
github.com/yjrtfn/cd/issues/257

http://www.hskmm.com/?act=detail&tid=15357

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