第一章 逻辑代数基础 - Wisdom

第1章 逻辑代数基础

1.1 & 1.2

一、数字电路概述

• 数字信号特点：在幅度和时间上离散，常用高电平（1）和低电平（0）表示。
• 与模拟信号区别：模拟信号连续变化，数字信号离散突变。
• 数字电路核心：研究输入与输出之间的逻辑关系（因果关系）。

二、三种基本逻辑运算

1. 与逻辑（AND）

• 定义：所有条件同时具备时，结果才发生。
• 表达式：\(Y = A \cdot B\)（可简写为 \(Y = AB\)）
• 口诀：全1出1，有0出0。

2. 或逻辑（OR）

• 定义：只要有一个条件具备，结果就发生。
• 表达式：\(Y = A + B\)
• 口诀：有1出1，全0出0。

3. 非逻辑（NOT）

• 定义：输出是对输入的取反。
• 表达式：\(Y = \overline{A}\)
• 口诀：入0出1，入1出0。

三、逻辑变量与函数

• 逻辑变量：用字母（如A、B）表示，取值只有0和1，代表两种对立状态。
• 逻辑函数：输出Y由输入变量唯一确定，记为 \(Y = F(A, B, \cdots)\)。
• 真值表：列出所有输入组合及对应输出的表格，是描述逻辑功能的基本方法。

四、常用复合逻辑运算

• 与非（NAND）：\(Y = \overline{A \cdot B}\)
• 或非（NOR）：\(Y = \overline{A + B}\)
• 与或非（AND-OR-INVERT）：\(Y = \overline{AB + CD}\)
• 异或（XOR）：\(Y = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}\)（相异为1）
• 同或（XNOR）：\(Y = A \odot B = \overline{A \oplus B}\)（相同为1）

五、关键真值表枚举

1. 基本逻辑运算真值表

A	B	Y与 (AND)	Y或 (OR)	Y非 (NOT)
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

2. 异或运算真值表

A	B	Y = A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

3. 三变量最小项真值表（部分示例）

A	B	C	\(m_0\) (\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\))	\(m_1\) (\(\overline{A}\overline{B}C\))	\(m_2\) (\(\overline{A}B\overline{C}\))	...	\(m_7\) (\(ABC\))
0	0	0	1	0	0	...	0
0	0	1	0	1	0	...	0
0	1	0	0	0	1	...	0
...	...	...	...	...	...	...	...

六、逻辑代数基本公式

• 常量关系：\(0 \cdot A = 0\), \(1 + A = 1\), \(A \cdot 1 = A\), \(A + 0 = A\)
• 同一律：\(A \cdot A = A\), \(A + A = A\)
• 互补律：\(A \cdot \overline{A} = 0\), \(A + \overline{A} = 1\)
• 德摩根定理：
  • \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
  • \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
• 还原律：\(\overline{\overline{A}} = A\)

七、最小项（MinTerm）

， - 定义：n个变量的乘积项，每个变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。

• 性质：
  1. 每个最小项只有一组变量取值使其值为1。
  2. 任意两个不同最小项之积恒为0。
  3. 所有最小项之和恒为1。
• 编号：将最小项对应的二进制取值转换为十进制数作为编号（如\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\) → 000 → \(m_0\)）。
• 标准与或式：逻辑函数可唯一表示为最小项之和的形式，例如：
  \(Y = \sum m(3,5,6,7) = m_3 + m_5 + m_6 + m_7\)

八、逻辑函数化简

• 目的：得到最简表达式（乘积项个数最少，每个乘积项变量数最少）。
• 方法：公式化简法（运用逻辑公式）和图形化简法（卡诺图）。