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简谈误差与不确定度

news 2025/10/14 2:05:24

晚自习闲着没事写的，内容比较 Trivial，大家图一乐就行。

我们主要谈论其中的一些数学直觉上的理解。

1. 随机误差统计规律

由统计规律可知，概率密度函数 $f(\Delta x)$ 满足如下正态分布条件：

\[f(\Delta x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-(\Delta x)^2 / (2\sigma ^ 2)} \]

上式的特征量 $\sigma$ 为单次测量的标准误差，满足：

\[\sigma = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\dfrac{\sum _ {1} ^ {n} (x _ i-x_0)^2}{n}} = \sqrt{\int _ {-\infty} ^ {+\infty}f(\Delta x)(\Delta x)^2\mathrm{d}{(\Delta x)}} \]

（写法可能不是很好看，能明白意思就行。）

由正态分布的对称性质，我们可以知道测量的算数平均值将成为真值的最佳估计值。

容易直观地理解，$\sigma$ 可以有效地评定测量的质量。

由中学的结论容易知道：

\[P(3\sigma)=p(-3\sigma < \Delta x < 3\sigma) \approx 99.7 \% \]

从而可知误差几乎不可能超过 $3\sigma$，有时亦称 $3\sigma$ 为误差极限。

对于有限次测量的标准偏差 $S_x$，我们使用贝塞尔公式进行计算：

\[S_x = \sqrt{\dfrac{\sum _ {1} ^{n} (x_i-\overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\dfrac{\sum _ {1} ^{n} \nu _ i ^2}{n-1}} \]

显然当 $n\to \infty$ 时，有 $S _ x \to \sigma$，从而我们达成一个估计。

关于在贝塞尔公式中，我们对偏差平方和的均值的求取除以了 $n-1$ 而非 $n$，这实际是贝塞尔公式所包含的贝塞尔修正。

贝塞尔修正的原因简单来说是：真值与算数平均值本身存在差距，从而会使得样本方差低估标准差（这点由最小二乘的取极值条件可以轻松地得知）。从而将除数替换为 $n-1$ 来弥补这一部分低估。

实际上修正的原因非常深邃，是的这个坑我回来会填的。

然而这并非我们最终的不确定度的估值的取值，因为我们并非取了“某次测量的值”作为真值的最佳估计值，而是取了“$n $ 次测量值的算术平均值”作为真值的最佳估计值。

那么理所当然的，我们的随机误差的不确定度，即不确定度的 A 类分量 $\Delta _ {A}$，应当取“$n $ 次测量值的算术平均值”与真值的标准偏差的标准差。

（这话说得比较绕，我看以后能不能改一下。）

我们不妨将算数平均值视作一个将每次测量的数据作为变量的函数 $f$，则容易知道：

\[\overline{x} = f ( x _ 1, \cdots, x_n) = \dfrac{\sum _{1}^{n} x_i}{n} \]

那么用方和根算法对 $S_{\overline{x}}$ 进行估算：

\[\begin{aligned} S _ {\overline{x}} & = \sqrt{\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x _ i}\right)^{2} (S _{x_i})^2} \\ & = \sqrt{\sum _{i=1}^{n}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x _ i}\right)^{2} (S _{x})^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{(S_x) ^ 2}{ n }} \\ & = \sqrt{\dfrac{\sum _{1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n(n-1)}} \end{aligned} \]

容易知道数量关系：$S_{\overline{x}}=S_x / \sqrt{n}$。

2. 不确定度的评定

不确定度 $\Delta$ 的 A 类分量 $\Delta _{A}$ 即随机误差的不确定度，取测量列算术平均值的标准偏差 $S_{\overline{x}}$，亦即：

\[\Delta_{A} = S_{\overline{x}} =\sqrt{\dfrac{\sum _{1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n(n-1)}} \]
还记得我们上文提到的误差极限 $3\sigma$ 吗，有些时候我们的仪器将其测量的不确定度按照 $3\sigma$ 计算并标注于仪器或校准证书上，实际上就是标注了置信因子 $C=3$。此时我们仪器的不确定度 $\Delta _{仪} = 3\sigma$。

而我们的不确定度 $\Delta$ 的 B 类分量 $\Delta _{B} : =\sigma$，从而有：

\[\Delta _{B} = \Delta _{仪} / 3 \]
然而这是根据标准正态分布做出的置信概率为 $99.7\%$ 的置信因子。有些时候仪器的偏差分布是矩形分布，它将直接给出 $100\%$ 置信概率的置信区间 $\left[-\Delta_{仪},\Delta_{仪}\right]$，但此时我们的置信因子与正态分布就不同了，不妨先尝试求取一下该分布的标准差 $\sigma$：

\[\sigma = \sqrt{\int _{-\Delta_{仪}} ^ {\Delta _ {仪}} f(x) x ^ 2 \mathrm{d}x }= \dfrac{\Delta_{仪}}{\sqrt{3}} \]
那么我们容易得知，此时的不确定度的 B 类分量 $\Delta_{B}=\sigma = \Delta_{仪}/\sqrt{3}$，置信因子为 $C=\sqrt{3}$。这也是高教版《大学物理实验（第二版）》给出的一般推荐取值。

对于三角分布，标准差的求取是类似的：

\[\sigma = \sqrt{\int _{-\Delta_{仪}}^{\Delta_{仪}}f(x)x^2\mathrm{d}x}=\dfrac{\Delta_{仪}}{\sqrt{6}} \]
其中：

\[f(x) = \pm \dfrac{1}{\Delta_{仪}^2}x+ \dfrac{1}{\Delta_{仪}} \]

3. 不确定度的合成

直接测量的不确定度合成：

\[\Delta = \sqrt{\Delta_{A} ^ 2 + \Delta _ {B} ^ 2} \]
间接测量的不确定度合成：

不妨设间接测量量 $N$ 满足与直接测量量的如下函数关系：

\[N = f( x_1, x_2,\cdots, x_n) \]
我们采用方和根的方法来估算：

\[\Delta _ {N} = \sqrt{\sum _ {i=1} ^{n}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) ^ 2(\Delta _ {x_i})^2} \]
有时该式的获取是困难的，但是其相对不确定度 $\Delta _{N} / \overline{N}$ 的求取是简单的，因为它的值正是将 $f$ 取对数后再代入上式：

\[\dfrac{\Delta _ {N}}{\overline{N}} = \sqrt{\sum _ { i = 1} ^ {n}\left(\dfrac{\partial \ln f}{\partial x_i}\right)^2 (\Delta _ {x_i})^2} \]